Реши задание на изображении
Кратко
\(\displaystyle \int \frac{5x^4+6x^2-4x+9}{x^2}\,dx=\frac53x^3+6x-4\ln|x|-\frac9x+C\)
а) \(\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\frac13\)
б) если верхний предел \(\frac{\pi}{2}\), то \(\displaystyle \frac{11}{3}\). Если там просто \(\pi\), то \(0\).Площадь фигуры: \(\boxed{6}\)
Решение
1. Неопределённый интеграл
Делим каждое слагаемое на \(x^2\):
\[ \int \frac{5x^4+6x^2-4x+9}{x^2}\,dx = \int\left(5x^2+6-\frac4x+\frac9{x^2}\right)dx \]
Используем:
\[ \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\qquad \int \frac{dx}{x}=\ln|x|,\qquad \int x^{-2}dx=-\frac1x \]
Получаем:
\[ \frac53x^3+6x-4\ln|x|-\frac9x+C \]
Проверка: производная ответа равна подынтегральной функции.
2. Определённые интегралы
а)
\[ \int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 =\frac13-0=\boxed{\frac13} \]
б)
Сначала находим первообразную:
\[ \int(3\sin2x-2\cos3x)\,dx = -\frac32\cos2x-\frac23\sin3x \]
Если верхний предел \(\frac{\pi}{2}\):
\[ \left[-\frac32\cos2x-\frac23\sin3x\right]_0^{\pi/2} = \frac{11}{3} \]
Если верхний предел \(\pi\), то оба слагаемых дают \(0\), поэтому ответ был бы \(0\).
3. Площадь фигуры
Даны:
\[ y=x^2+1,\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=2 \]
Так как \(x^2+1>0\), площадь:
\[ S=\int_{-1}^{2}(x^2+1)\,dx \]
\[ S=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^{2} \]
В точке \(x=2\):
\[ \frac83+2=\frac{14}{3} \]
В точке \(x=-1\):
\[ -\frac13-1=-\frac43 \]
\[ S=\frac{14}{3}-\left(-\frac43\right) =\frac{18}{3}=6 \]
\[ \boxed{S=6} \]
На фото верхний предел в №2б я читаю как \(\frac{\pi}{2}\). Если там просто \(\pi\), то значение второго интеграла равно \(0\).
