Реши задание на изображении
Краткий ответ
- а) \(EF\parallel AD\), а прямые \(EF\) и \(AB\) — скрещивающиеся.
б) Угол между \(EF\) и \(AB\) равен \(30^\circ\). - Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон \(ABCD\), — ромб.
1. Трапеция и плоскость \(\alpha\)
Пусть через \(B\) и \(C\) проведены параллельные прямые \(BE\) и \(CF\), причём \(E,F\in\alpha\).
а) Взаимное положение \(EF\) и \(AB\)
Так как \(AD\) — основание трапеции, то
\[
AD\parallel BC.
\]
При этом \(AD\subset\alpha\), значит \(BC\parallel\alpha\).
Плоскость, проходящая через параллельные прямые \(BE\) и \(CF\), содержит и прямую \(BC\). Линия её пересечения с плоскостью \(\alpha\) — это \(EF\). Поэтому \[ EF\parallel BC. \] А так как \(BC\parallel AD\), получаем: \[ EF\parallel AD. \]
Прямая \(AB\) не параллельна \(AD\), значит, не параллельна и \(EF\). В обычном пространственном расположении \(AB\) и \(EF\) не пересекаются, поэтому они скрещивающиеся.
б) Угол между \(EF\) и \(AB\)
Поскольку \(EF\parallel BC\), искомый угол равен углу между прямыми \(AB\) и \(BC\).
Дан \(\angle ABC=150^\circ\). Но угол между прямыми берут как меньший из образованных углов: \[ 180^\circ-150^\circ=30^\circ. \] Значит, \[ \angle(EF,AB)=30^\circ. \]
Проверка: \(\angle DAB=180^\circ-150^\circ=30^\circ\), а \(EF\parallel AD\), поэтому угол действительно \(30^\circ\).
2. Четырёхугольник из середин сторон
Обозначим середины сторон: \[ M\in AB,\quad N\in BC,\quad P\in CD,\quad Q\in DA. \] Соединим их последовательно: \(M\to N\to P\to Q\to M\).
Рассмотрим треугольники:
В \(\triangle ABC\) отрезок \(MN\) соединяет середины \(AB\) и \(BC\), значит, \[ MN\parallel AC,\qquad MN=\frac{AC}{2}. \]
В \(\triangle ADC\) отрезок \(PQ\) соединяет середины \(AD\) и \(CD\), значит, \[ PQ\parallel AC,\qquad PQ=\frac{AC}{2}. \]
Следовательно, \[ MN\parallel PQ,\qquad MN=PQ. \]
Аналогично:
В \(\triangle ABD\): \[ MQ\parallel BD,\qquad MQ=\frac{BD}{2}. \]
В \(\triangle BCD\): \[ NP\parallel BD,\qquad NP=\frac{BD}{2}. \]
Значит, \[ NP\parallel MQ,\qquad NP=MQ. \]
То есть \(MNPQ\) — параллелограмм. По условию диагонали исходного четырёхугольника равны: \[ AC=BD. \] Поэтому \[ MN=NP=PQ=QM=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}. \]
У параллелограмма все стороны равны, значит, это ромб.
Рисунок к 2а: нарисуйте пространственный четырёхугольник \(ABCD\), отметьте середины \(M,N,P,Q\) на сторонах \(AB,BC,CD,DA\) и соедините их последовательно.
