Реши задание на изображении
Кратко (по записи на фото):
\(\displaystyle \int \frac{5x^4+6x^2-4x+1}{6}\,dx = \frac{x^5+2x^3-2x^2+x}{6}+C\)
а) \(\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\frac13\)
б) \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}(3\sin 2x-2\cos 3x)\,dx=\frac{11}{3}=3\frac23\)\(\displaystyle S=6\) (до сотых: \(6{,}00\))
1) Неопределённый интеграл
Используем правило степени: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \] и линейность интеграла.
\[ \int \frac{5x^4+6x^2-4x+1}{6}\,dx =\frac16\int(5x^4+6x^2-4x+1)\,dx \]
\[ =\frac16\left(x^5+2x^3-2x^2+x\right)+C \]
Проверка: если продифференцировать ответ, снова получится подынтегральная дробь. Не забываем \(+C\), потому что интеграл неопределённый.
2а) Определённый интеграл
Сначала находим первообразную, потом применяем формулу Ньютона–Лейбница: \[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) \]
\[ \int_0^1 x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1^3}{3}-0 =\frac13 \]
2б) Определённый интеграл
Первообразные: \[ \int \sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x \] \[ \int \cos 3x\,dx=\frac13\sin 3x \]
Поэтому: \[ F(x)=-\frac32\cos 2x-\frac23\sin 3x \]
Подставляем пределы: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) =-\frac32\cos\pi-\frac23\sin\frac{3\pi}{2} =\frac32+\frac23 =\frac{13}{6} \]
\[ F(0)=-\frac32 \]
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0) =\frac{13}{6}+\frac32 =\frac{13}{6}+\frac{9}{6} =\frac{22}{6} =\frac{11}{3} \]
3) Площадь фигуры
Фигура ограничена сверху \(y=x^2+1\), снизу \(y=0\), слева \(x=-1\), справа \(x=2\).
На всём промежутке \(x^2+1>0\), поэтому площадь:
\[
S=\int_{-1}^{2}(x^2+1)\,dx
\]
\[ S=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^{2} \]
\[ =\left(\frac83+2\right)-\left(-\frac13-1\right) =\frac{14}{3}+\frac{4}{3} =\frac{18}{3}=6 \]
Ответ с округлением до сотых: \[ S=6{,}00 \]
Обсуждение
6 сообщений2б обясни
Разберём 2б по шагам.
Нужно вычислить: \[ \int_0^{\pi/2}(3\sin 2x-2\cos 3x)\,dx \]
1. Находим первообразную
Пользуемся формулами: \[ \int \sin kx\,dx=-\frac{1}{k}\cos kx \] \[ \int \cos kx\,dx=\frac{1}{k}\sin kx \]
Поэтому: \[ \int 3\sin 2x\,dx =3\cdot\left(-\frac12\cos 2x\right) =-\frac32\cos 2x \]
\[ \int (-2\cos 3x)\,dx =-2\cdot\frac13\sin 3x =-\frac23\sin 3x \]
Значит, первообразная: \[ F(x)=-\frac32\cos 2x-\frac23\sin 3x \]
2. Подставляем пределы
Формула Ньютона–Лейбница: \[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) \]
Верхний предел \(x=\frac{\pi}{2}\):
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) =-\frac32\cos\pi-\frac23\sin\frac{3\pi}{2} \]
Так как: \[ \cos\pi=-1,\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1 \] получаем: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) =-\frac32\cdot(-1)-\frac23\cdot(-1) =\frac32+\frac23 =\frac{13}{6} \]
Нижний предел \(x=0\):
\[ F(0)=-\frac32\cos0-\frac23\sin0 =-\frac32\cdot1-0 =-\frac32 \]
3. Вычитаем
\[ \int_0^{\pi/2}(3\sin 2x-2\cos 3x)\,dx = \frac{13}{6}-\left(-\frac32\right) \]
\[ =\frac{13}{6}+\frac32 =\frac{13}{6}+\frac{9}{6} =\frac{22}{6} =\frac{11}{3} \]
Ответ: \[ \boxed{\frac{11}{3}=3\frac23} \]
Главное, где часто ошибаются: при подстановке \(\frac{3\pi}{2}\) нужно помнить, что \(\sin\frac{3\pi}{2}=-1\), поэтому минус перед \(\frac23\) снова даёт плюс.
3 чиймеси
Если ты про рисунок к №3, вот что нужно изобразить.
Фигура ограничена:
- сверху — параболой \(y=x^2+1\);
- снизу — осью \(Ox\), то есть \(y=0\);
- слева — прямой \(x=-1\);
- справа — прямой \(x=2\).
Парабола \(y=x^2+1\) имеет вершину \((0;1)\) и проходит через точки:
\[ (-1;2),\quad (0;1),\quad (1;2),\quad (2;5). \]
Схематично:
y
5 | ● (2;5)
4 | /
3 | /
2 | ● (-1;2) ● (1;2)
1 | \___●___/
0 +----|----|----|------→ x
-1 0 1 2
Нужно заштриховать область между параболой и осью \(Ox\) от \(x=-1\) до \(x=2\).
Площадь этой фигуры:
\[ S=\int_{-1}^{2}(x^2+1)\,dx \]
\[ S=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^{2} =6 \]
Ответ: \(S=6\) (или \(6{,}00\)).
Фото создать
Фото-файл прикрепить не могу — у меня текстовый формат. Но вот готовый рисунок в SVG: скопируй код, сохрани как figure.svg, открой в браузере — получится изображение, можно сделать скриншот.
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="600" height="420" viewBox="0 0 600 420">
<rect width="600" height="420" fill="white"/>
<!-- закрашенная фигура -->
<path d="M20,350 L320,350 L320,100
L300,138 L280,172 L260,202 L240,228 L220,250
L200,268 L180,282 L160,292 L140,298 L120,300
L100,298 L80,292 L60,282 L40,268 L20,250 Z"
fill="#b7d7ff"/>
<!-- оси -->
<line x1="10" y1="350" x2="520" y2="350" stroke="black" stroke-width="2"/>
<line x1="120" y1="30" x2="120" y2="395" stroke="black" stroke-width="2"/>
<!-- границы x=-1 и x=2 -->
<line x1="20" y1="350" x2="20" y2="250" stroke="#333" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,4"/>
<line x1="320" y1="350" x2="320" y2="100" stroke="#333" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,4"/>
<!-- парабола y=x^2+1 -->
<path d="M20,250 L40,268 L60,282 L80,292 L100,298 L120,300
L140,298 L160,292 L180,282 L200,268 L220,250
L240,228 L260,202 L280,172 L300,138 L320,100"
fill="none" stroke="#1e66c9" stroke-width="3"/>
<!-- точки -->
<circle cx="20" cy="250" r="4" fill="#1e66c9"/>
<circle cx="120" cy="300" r="4" fill="#1e66c9"/>
<circle cx="320" cy="100" r="4" fill="#1e66c9"/>
<text x="25" y="245" font-size="14">(-1; 2)</text>
<text x="128" y="295" font-size="14">(0; 1)</text>
<text x="328" y="105" font-size="14">(2; 5)</text>
<!-- подписи -->
<text x="525" y="355" font-size="16">x</text>
<text x="126" y="30" font-size="16">y</text>
<text x="125" y="370" font-size="16">O</text>
<text x="10" y="370" font-size="14">-1</text>
<text x="216" y="370" font-size="14">1</text>
<text x="314" y="370" font-size="14">2</text>
<text x="352" y="95" font-size="15" fill="#1e66c9">y = x² + 1</text>
<text x="340" y="340" font-size="14">y = 0</text>
<text x="5" y="235" font-size="14" fill="#333">x = -1</text>
<text x="330" y="250" font-size="14" fill="#333">x = 2</text>
<text x="130" y="400" font-size="14">Площадь S = 6</text>
</svg>
Если нужно, могу ещё сделать более простую схему от руки — по шагам, как её чертить в тетради.
