чертеж,оксиому, доказательство,дано, решение 1задание
Короткий ответ. Утверждение верно: \(MN\parallel\alpha\), потому что \(MN\) — средняя линия трапеции, а значит, параллельна основанию, лежащему в плоскости \(\alpha\).
Чертёж (схема):
B ●────────────● C
/ \
M ● · · · · · · · ·● N — MN
/ \
A ●──────────────────────● D AD ⊂ α
\__________________/
плоскость α
\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\).
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\);
\(\alpha\) — плоскость, \(AD\subset\alpha\) (для другого основания — аналогично);
\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\).
Считаем, что \(\alpha\) не совпадает с плоскостью трапеции.
Доказать:
\(MN\parallel\alpha\).
Доказательство:
\(M\) и \(N\) — середины боковых сторон, значит, \(MN\) — средняя линия трапеции.
Поэтому \[ MN\parallel AD. \]По условию \[ AD\subset\alpha. \]
\(MN\) не лежит в плоскости \(\alpha\).
Пусть \(\beta\) — плоскость трапеции \(ABCD\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны и обе содержат прямую \(AD\), поэтому \[ \alpha\cap\beta=AD. \] Точки \(M,N\) лежат в \(\beta\), но не лежат на \(AD\), значит, они не лежат в \(\alpha\). Поэтому и \(MN\not\subset\alpha\).Используем признак параллельности прямой и плоскости:
если прямая не лежит в плоскости и параллельна какой-либо прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.У нас: \[ MN\parallel AD,\qquad AD\subset\alpha,\qquad MN\not\subset\alpha. \] Следовательно, \[ MN\parallel\alpha. \]
Что важно понять. Это не отдельная аксиома, а признак параллельности прямой и плоскости. Если плоскость \(\alpha\) проведена через другое основание \(BC\), доказательство такое же: \(MN\parallel BC\), а \(BC\subset\alpha\).
Важный нюанс. Если бы \(\alpha\) совпадала с плоскостью самой трапеции, то \(MN\) лежала бы в \(\alpha\), а не была бы параллельна ей в строгом смысле. В задаче обычно подразумевается, что через основание проведена другая плоскость.
Обсуждение
4 сообщения2 задание Дано, решение,найти,чертеж Сделай правильно
Условия второго задания в сообщении нет, поэтому решить и оформить «Дано / Найти / Чертёж / Решение» пока невозможно.
Пришлите текст задания 2 или фото условия — тогда оформлю всё правильно.
Задача 2 (по фото)
Дано:
\(\alpha\parallel\beta\); точка \(O\) не лежит между плоскостями;
\(l\cap\alpha=A_1,\ l\cap\beta=A_2\);
\(m\cap\alpha=B_1,\ m\cap\beta=B_2\);
\(A_2B_2=16\) см;
\(OB_1:B_1B_2=3:5\).
Найти:
\(A_1B_1\).
Чертёж — сечение плоскостью \(\gamma\), проходящей через прямые \(l\) и \(m\):
O
/ \
/ \
/ \
α: A1─────B1 A1B1 ∥ A2B2
/ \
/ \
β: A2─────────B2
Решение:
Прямые \(l\) и \(m\) пересекаются в точке \(O\), значит, лежат в одной плоскости \(\gamma\).
Плоскость \(\gamma\) пересекает параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) по прямым \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\).
Следовательно, \[ A_1B_1\parallel A_2B_2. \]Поэтому треугольники \[ \triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_2B_2. \] Коэффициент подобия: \[ k=\frac{OB_1}{OB_2}. \]
Так как \(O\) не лежит между плоскостями, точки расположены в порядке \(O-B_1-B_2\).
Пусть \[ OB_1=3x,\qquad B_1B_2=5x. \] Тогда \[ OB_2=OB_1+B_1B_2=3x+5x=8x. \] Значит, \[ k=\frac{OB_1}{OB_2}=\frac{3x}{8x}=\frac38. \]Из подобия: \[ \frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac38. \] Поэтому \[ A_1B_1=\frac38\cdot 16=6\text{ см}. \]
Ответ: \(\boxed{6\text{ см}}\).
