Реши задание на изображении
Краткие ответы
\[ \int \frac{5x^4+6x^2-4x+1}{6}\,dx = \frac{x^5+2x^3-2x^2+x}{6}+C \]
а) \[ \int_0^1 x^2\,dx=\frac13 \] б) \[ \int_0^{\pi/2}(3\sin 2x-2\cos 3x)\,dx=\frac{11}{3} \] (верхний предел на фото читаю как \(\frac{\pi}{2}\))
Площадь фигуры: \[ S=6 \text{ кв. ед.} \]
Как решать
1. Неопределённый интеграл
Используем правило степени: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \] и то, что интеграл суммы равен сумме интегралов.
\[ \int \frac{5x^4+6x^2-4x+1}{6}\,dx = \frac16\left(5\int x^4dx+6\int x^2dx-4\int x\,dx+\int 1\,dx\right) \]
\[ = \frac16\left(x^5+2x^3-2x^2+x\right)+C \]
То есть: \[ \boxed{\frac{x^5+2x^3-2x^2+x}{6}+C} \]
Проверка: если продифференцировать ответ, получится исходная подынтегральная функция.
2. Определённые интегралы
Для определённого интеграла используем формулу Ньютона–Лейбница: \[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) \] где \(F'(x)=f(x)\). Постоянную \(C\) здесь не пишем.
а)
\[ \int_0^1 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac13-0 = \boxed{\frac13} \]
б)
Сначала найдём первообразную: \[ \int(3\sin 2x-2\cos 3x)\,dx = -\frac32\cos 2x-\frac23\sin 3x \]
Тогда: \[ \left(-\frac32\cos 2x-\frac23\sin 3x\right)\Bigg|_0^{\pi/2} \]
В точке \(\frac{\pi}{2}\): \[ -\frac32\cos\pi-\frac23\sin\frac{3\pi}{2} = -\frac32(-1)-\frac23(-1) = \frac32+\frac23 = \frac{13}{6} \]
В точке \(0\): \[ -\frac32\cos0-\frac23\sin0 = -\frac32 \]
Вычитаем: \[ \frac{13}{6}-\left(-\frac32\right) = \frac{13}{6}+\frac96 = \frac{22}{6} = \boxed{\frac{11}{3}} \]
3. Площадь фигуры
Даны линии: \[ y=x^2+1,\qquad y=0,\qquad x=-1,\qquad x=2 \]
\(y=0\) — это ось \(Ox\). График \(y=x^2+1\) всегда выше оси \(Ox\), поэтому площадь: \[ S=\int_{-1}^{2}(x^2+1-0)\,dx \]
Считаем: \[ S=\int_{-1}^{2}(x^2+1)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{2} \]
При \(x=2\): \[ \frac{8}{3}+2=\frac{14}{3} \]
При \(x=-1\): \[ -\frac13-1=-\frac43 \]
\[ S=\frac{14}{3}-\left(-\frac43\right) = \frac{14}{3}+\frac43 = \frac{18}{3} = \boxed{6} \]
Принцип: чтобы найти площадь между графиками, интегрируем «верхнюю функцию минус нижнюю» на заданном промежутке. Здесь верхняя функция \(y=x^2+1\), нижняя \(y=0\), пределы от \(-1\) до \(2\).
Обсуждение
8 сообщений3 фото создать
Я не создаю изображения и фото — могу только оформить решение текстом. Уточни, пожалуйста: тебе нужно три отдельных текстовых блока с решением (по одному на каждое задание), чтобы ты сам сделал скриншоты?
Тогда как нарисовать фото
Изображения я не рисую, но «три фото» с решением сделать легко — двумя способами.
1. Скриншоты текста (быстрее всего)
- Телефон: одновременно нажать кнопку включения и «убавление громкости» (Android) или боковую кнопку + громкость (iPhone).
- Компьютер: Windows —
Win + Shift + S; Mac —Cmd + Shift + 4. Затем выделить нужный кусок. - Чтобы получилось ровно 3 фото, снимай по одному заданию: №1, №2, №3.
2. От руки на бумаге (если учитель требует оформление в тетради)
- Возьми 3 листа (или раздели один лист на 3 части).
- На каждом листе пиши только своё задание:
- интеграл \(\int \frac{5x^4+6x^2-4x+1}{6}dx\);
- оба определённых интеграла;
- площадь фигуры \(S=6\).
- Фотографируй сверху, при хорошем свете, лист на ровной поверхности — так текст не «поплывёт».
Если нужно, могу разбить решение на три отдельных блока с заголовками «Задание 1», «Задание 2», «Задание 3» — скажи, с какого устройства будешь делать фото (телефон или компьютер).
Точки в котором они стоят
Похоже, тебе нужны точки для рисунка к заданию 3 (фигура между \(y=x^2+1\), осью \(Ox\) и прямыми \(x=-1\), \(x=2\)). Вот они.
Угловые точки фигуры:
- \((-1;\,0)\) — левый нижний угол (на оси \(Ox\))
- \((2;\,0)\) — правый нижний угол
- \((-1;\,2)\) — левый верхний (здесь парабола пересекает прямую \(x=-1\))
- \((2;\,5)\) — правый верхний (парабола при \(x=2\))
Точки параболы \(y=x^2+1\) на промежутке \([-1;\,2]\):
| \(x\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(2\) | \(1{,}25\) | \(1\) | \(1{,}25\) | \(2\) | \(3{,}25\) | \(5\) |
Как рисовать:
- Проведи оси \(Ox\) и \(Oy\).
- Отметь вершину параболы — самую нижнюю точку \((0;\,1)\).
- Построй параболу по таблице от \(x=-1\) до \(x=2\).
- Проведи вертикальные прямые \(x=-1\) и \(x=2\) от оси \(Ox\) вверх до параболы.
- Заштрихуй область внутри: снизу — ось \(Ox\), сверху — парабола, по бокам — прямые.
Площадь этой фигуры мы уже посчитали: \(S=6\).
Если ты спрашивал не про рисунок, а про пределы интегрирования в задании 2 (точки \(0\) и \(\frac{\pi}{2}\) или \(0\) и \(1\)) — напиши, и я объясню именно их.
3 этап этапом
Разберём задание 3 по этапам — так, как оформляют в тетради.
Этап 1. Записать условие и что ищем
Даны линии: \[ y=x^2+1,\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=2 \] Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.
Этап 2. Понять, что за фигура
- \(y=x^2+1\) — парабола, ветви вверх, вершина в точке \((0;\,1)\), она лежит выше оси \(Ox\) при всех \(x\).
- \(y=0\) — ось \(Ox\), это нижняя граница.
- \(x=-1\) и \(x=2\) — вертикальные прямые, это боковые границы.
Значит, фигура — криволинейная трапеция: снизу ось \(Ox\), сверху парабола, слева и справа прямые.
Этап 3. Найти пределы интегрирования
Их задают вертикальные прямые: \[ a=-1,\qquad b=2 \]
Этап 4. Составить интеграл
Площадь = интеграл от «верхней функции минус нижняя»: \[ S=\int_{-1}^{2}\big((x^2+1)-0\big)\,dx=\int_{-1}^{2}(x^2+1)\,dx \]
Этап 5. Найти первообразную
\[ \int (x^2+1)\,dx=\frac{x^3}{3}+x \]
Этап 6. Подставить пределы (формула Ньютона–Лейбница)
\[ S=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{2} \]
Верхний предел \(x=2\): \[ \frac{8}{3}+2=\frac{14}{3} \]
Нижний предел \(x=-1\): \[ \frac{-1}{3}-1=-\frac{4}{3} \]
Вычитаем: \[ S=\frac{14}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{18}{3}=6 \]
Этап 7. Ответ
\[ \boxed{S=6 \text{ кв. ед.}} \]
Проверка смыслом: фигура — почти прямоугольник шириной \(3\) (от \(-1\) до \(2\)) и высотой примерно от \(1\) до \(5\); площадь \(6\) выглядит правдоподобно.
Если под «3 этап» ты имел в виду не задание 3, а третий шаг в каком-то другом решении — скажи, какого именно. И могу так же по этапам расписать задания 1 и 2.
