Задача Задача №3771190
А
А
Реши задание на изображении
Краткий ответ (действительные корни):
- \(x=\pm1,\ \pm2\)
- \(x=\pm1\)
- \(x=\pm\sqrt3,\ \pm\dfrac1{\sqrt2}=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\)
- \(x=\pm\sqrt5\)
- \(x=\pm1\)
- \(x=\pm\sqrt{\dfrac32}=\pm\dfrac{\sqrt6}{2}\)
Как решать. Все уравнения биквадратные. Вводим замену
\[
t=x^2,\qquad t\ge0.
\]
Тогда \(x^4=t^2\), и получается обычное квадратное уравнение относительно \(t\).
Главное: если при решении получился \(t<0\), такой корень отбрасываем — квадрат действительного числа неотрицателен. Затем из \(x^2=t\) находим \(x=\pm\sqrt t\).
Например, №1: \[ x^4-5x^2+4=0 \] \[ t^2-5t+4=0 \] \[ D=25-16=9,\qquad t=\frac{5\pm3}{2}=1;\ 4. \] Оба \(t\) подходят, поэтому: \[ x=\pm1,\quad x=\pm2. \]
Итоги по остальным:
| № | Уравнение для \(t\) | Подходящие \(t\) | \(x\) |
|---|---|---|---|
| 2 | \(t^2+6t-7=0\) | \(1\) (\(-7\) отбрасываем) | \(\pm1\) |
| 3 | \(2t^2-7t+3=0\) | \(\frac12;\ 3\) | \(\pm\frac{\sqrt2}{2};\ \pm\sqrt3\) |
| 4 | \(t^2-10t+25=0\) | \(5\) | \(\pm\sqrt5\) |
| 5 | \(3t^2+8t-11=0\) | \(1\) (\(-\frac{11}{3}\) отбрасываем) | \(\pm1\) |
| 6 | \(4t^2-12t+9=0\) | \(\frac32\) | \(\pm\frac{\sqrt6}{2}\) |
Проверка: для №3 при \(x^2=3\): \[ 2\cdot9-7\cdot3+3=18-21+3=0; \] при \(x^2=\frac12\): \[ 2\cdot\frac14-7\cdot\frac12+3=\frac12-\frac72+3=0. \] Значит, корни найдены верно.
Обсуждение
1 сообщение А
