Вариант 2 с дано
Краткий ответ для варианта 2 (рис. 2)
\[ R_{\text{экв}}=\frac{22}{3}\ \text{Ом}\approx 7{,}33\ \text{Ом} \] \[ I=2\ \text{А},\qquad U=\frac{44}{3}\ \text{В}\approx 14{,}67\ \text{В} \]
Токи и напряжения на резисторах:
\[ I_1=I_2=\frac23\ \text{А},\qquad I_3=I_4=\frac43\ \text{А},\qquad I_5=2\ \text{А} \]
\[ U_1=U_2=U_3=U_4=\frac{16}{3}\ \text{В}\approx 5{,}33\ \text{В},\qquad U_5=4\ \text{В} \]
Дано
По строке «рис. 2, вариант 2»:
\[ R_1=8\ \text{Ом},\quad R_2=8\ \text{Ом} \] \[ R_3=4\ \text{Ом},\quad R_4=4\ \text{Ом} \] \[ R_5=2\ \text{Ом},\qquad I_5=2\ \text{А} \]
Найти: \(R_{\text{экв}},\ U,\ I_1-I_5,\ U_1-U_5\).
Решение
- Верхняя ветвь — два резистора последовательно:
\[ R_{12}=R_1+R_2=8+8=16\ \text{Ом} \]
- Нижняя ветвь — тоже последовательно:
\[ R_{34}=R_3+R_4=4+4=8\ \text{Ом} \]
- Верхняя и нижняя ветви соединены параллельно:
\[ R_{1234}=\frac{R_{12}R_{34}}{R_{12}+R_{34}} = \frac{16\cdot 8}{16+8} = \frac{128}{24} = \frac{16}{3}\ \text{Ом} \]
\[ R_{1234}\approx 5{,}33\ \text{Ом} \]
- Весь параллельный участок последовательно с \(R_5\), поэтому:
\[ R_{\text{экв}}=R_{1234}+R_5 = \frac{16}{3}+2 = \frac{22}{3}\ \text{Ом} \]
\[ R_{\text{экв}}\approx 7{,}33\ \text{Ом} \]
- Через \(R_5\) идёт общий ток цепи, значит:
\[ I=I_5=2\ \text{А} \]
Напряжение на \(R_5\):
\[ U_5=I_5R_5=2\cdot 2=4\ \text{В} \]
Напряжение на параллельном участке:
\[ U_{1234}=I\cdot R_{1234} = 2\cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}\ \text{В} \approx 10{,}67\ \text{В} \]
Общее напряжение:
\[ U=U_{1234}+U_5 = \frac{32}{3}+4 = \frac{44}{3}\ \text{В} \approx 14{,}67\ \text{В} \]
- Теперь находим токи в ветвях. На параллельном участке напряжение одинаково для обеих ветвей:
\[ I_{12}=\frac{U_{1234}}{R_{12}} = \frac{32/3}{16} = \frac23\ \text{А} \]
\[ I_{34}=\frac{U_{1234}}{R_{34}} = \frac{32/3}{8} = \frac43\ \text{А} \]
При этом:
\[ \frac23+\frac43=2\ \text{А}=I \]
То есть токи найдены верно.
- Напряжения на резисторах:
\[ U_1=I_1R_1=\frac23\cdot 8=\frac{16}{3}\ \text{В} \]
\[ U_2=I_2R_2=\frac23\cdot 8=\frac{16}{3}\ \text{В} \]
\[ U_3=I_3R_3=\frac43\cdot 4=\frac{16}{3}\ \text{В} \]
\[ U_4=I_4R_4=\frac43\cdot 4=\frac{16}{3}\ \text{В} \]
\[ U_5=4\ \text{В} \]
Проверка
Верхняя ветвь:
\[ U_1+U_2=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\ \text{В} \]
Нижняя ветвь:
\[ U_3+U_4=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\ \text{В} \]
Напряжения ветвей равны, значит параллельное соединение посчитано правильно. Общее напряжение:
\[ U=\frac{32}{3}+4=\frac{44}{3}\ \text{В} \]
Принцип для похожих задач
Сначала «сворачивай» цепь:
- при последовательном соединении \(R=R_1+R_2+\dots\), ток одинаковый;
- при параллельном \( \dfrac1R=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}+\dots \), напряжение одинаковое.
Найди общее сопротивление всей цепи \(R_{\text{экв}}\).
Через последовательный участок идёт общий ток; по нему находят напряжение на нём.
Для параллельного участка:
\[ U_{\text{пар}}=I_{\text{общ}}R_{\text{пар}}, \] затем токи ветвей: \[ I_i=\frac{U_{\text{пар}}}{R_i}. \]
