Реши задание на изображении

На фото несколько заданий. №1053 сверху виден не полностью, поэтому ниже — решения для полностью читаемых №1054–1058.

Краткие ответы

1054.
\[ x^2+(y-6)^2=10 \]

1055.
а) \[ (x-2)^2+(y-1)^2=41 \] б) \[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

1056.
\[ (x-5)^2+y^2=25 \] или \[ (x+3)^2+y^2=25 \] Таких окружностей две.

1057.
\[ x^2+(y-4)^2=25 \]

1058.
а) \[ 3x+4y+1=0 \] б) \[ 5x-3y+5=0 \]

---

Как это получается

Общее уравнение окружности с центром \((x_0;y_0)\) и радиусом \(R\):

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \]

1054. Центр \(A(0;6)\), поэтому \(x_0=0,\ y_0=6\).
Радиус — расстояние от \(A\) до \(B(-1;3)\):

\[ R^2=(-1-0)^2+(3-6)^2=1+9=10 \]

Значит: \[ x^2+(y-6)^2=10 \]

1055. Если \(MN\) — диаметр, то центр окружности — середина \(MN\), а радиус равен половине \(MN\).

а) \(M(-3;5),\ N(7;-3)\).
Центр: \[ O\left(\frac{-3+7}{2};\frac{5-3}{2}\right)=(2;1) \] Радиус в квадрате: \[ R^2=(7-2)^2+(-3-1)^2=25+16=41 \] Уравнение: \[ (x-2)^2+(y-1)^2=41 \]

б) \(M(2;-1),\ N(4;3)\).
Центр: \[ O\left(\frac{2+4}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(3;1) \] \[ R^2=(4-3)^2+(3-1)^2=1+4=5 \] Уравнение: \[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

1056. Центр лежит на оси абсцисс, значит его координаты \((a;0)\). Радиус равен \(5\):

\[ (x-a)^2+y^2=25 \]

Окружность проходит через \(A(1;3)\):

\[ (1-a)^2+3^2=25 \] \[ (1-a)^2=16 \] \[ 1-a=\pm 4 \]

Отсюда \(a=-3\) или \(a=5\). Поэтому две окружности: \[ (x+3)^2+y^2=25 \] и \[ (x-5)^2+y^2=25 \]

1057. Центр лежит на оси ординат, значит \(O(0;b)\).
Окружность проходит через \(A(-3;0)\) и \(B(0;9)\). Радиусы \(OA\) и \(OB\) равны:

\[ (-3-0)^2+(0-b)^2=(0-0)^2+(9-b)^2 \] \[ 9+b^2=(9-b)^2 \] \[ 9+b^2=81-18b+b^2 \] \[ 18b=72,\quad b=4 \]

Значит центр \((0;4)\), а \[ R^2=9+4^2=25 \] Уравнение: \[ x^2+(y-4)^2=25 \]

1058. Прямую через две точки можно задать через угловой коэффициент:

\[ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]

а) \(A(1;-1),\ B(-3;2)\):

\[ k=\frac{2-(-1)}{-3-1}=\frac{3}{-4}=-\frac34 \]

\[ y+1=-\frac34(x-1) \]

После упрощения: \[ 3x+4y+1=0 \]

б) \(C(2;5),\ N(-4;-5)\):

\[ k=\frac{-5-5}{-4-2}=\frac{-10}{-6}=\frac53 \]

\[ y-5=\frac53(x-2) \]

После упрощения: \[ 5x-3y+5=0 \]

Если в №1053 имеется в виду окружность с центром в начале координат, проходящая через \(A(0;6)\), то её уравнение: \[ x^2+y^2=36 \]