Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Как решить

Уравнение:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Можно заметить, что левую часть можно разложить на множители:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Проверим раскрытием скобок:

\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]

Значит,

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]

Отсюда:

\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]

Проверка

Подставим \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

Подставим \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип

Для уравнения вида \(x^2+bx+c=0\) иногда достаточно подобрать два числа, которые:

• в сумме дают \(-b\) (здесь \(5\));
• в произведении дают \(c\) (здесь \(6\)).

Это числа \(2\) и \(3\), поэтому корни уравнения — \(2\) и \(3\). Если подобрать числа сложно, можно использовать дискриминант:

\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]

Тогда \(x_1=3,\; x_2=2\).