Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(11x-y-8z-120=0\)
- а) \(21y+8z=0\); б) \(z+24=0\); в) \(10x-23z+476=0\)
- Точки пересечения с осями: \(\left(-\frac23;0;0\right)\), \(\left(0;-\frac43;0\right)\), \(\left(0;0;\frac49\right)\).
Длины отрезков: \(\frac23,\ \frac43,\ \frac49\). - \(\cos\varphi=\dfrac{30}{\sqrt{15290}}\approx0{,}243\)
- \(4x-5y-8z+212=0\)
Как это получается
Главное правило: если у плоскости нормальный вектор \(\vec n=(A;B;C)\) и она проходит через точку \(M_0(x_0;y_0;z_0)\), то её уравнение:
\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0. \]
Коэффициенты \(A,B,C\) — это координаты нормали.
1. \(\vec n=(-22;2;16)\), \(M(14;-6;5)\):
\[ -22(x-14)+2(y+6)+16(z-5)=0. \]
После раскрытия скобок и деления на \(-2\):
\[ 11x-y-8z-120=0. \]
2.
а) Плоскость проходит через ось \(Ox\), значит, она содержит начало координат и параллельна оси \(Ox\). Её уравнение имеет вид
\[ By+Cz=0. \]
Подставляем \(T(15;-8;21)\):
\[ -8B+21C=0. \]
Берём \(B=21,\ C=8\), получаем
\[ 21y+8z=0. \]
б) Плоскость перпендикулярна оси \(Oz\), значит, её нормаль направлена вдоль \(Oz\), то есть уравнение имеет вид \(z=\text{const}\). Через \(A(-13;5;-24)\):
\[ z=-24 \quad\Rightarrow\quad z+24=0. \]
в) Плоскость параллельна оси \(Oy\), поэтому в нормали координата при \(y\) равна нулю: \(B=0\). Уравнение ищем в виде
\[ Ax+Cz+D=0. \]
Подставляем \(M(-20;9;12)\) и \(N(3;-9;22)\):
\[ -20A+12C+D=0, \] \[ 3A+22C+D=0. \]
Вычитаем:
\[ 23A+10C=0. \]
Можно взять \(A=10,\ C=-23\). Тогда из первого уравнения \(D=476\). Получаем:
\[ 10x-23z+476=0. \]
3. Чтобы найти точки пересечения с осями, обнуляем две координаты.
С осью \(Ox\): \(y=z=0\):
\[ -6x-4=0 \Rightarrow x=-\frac23. \]
С осью \(Oy\):
\[ -3y-4=0 \Rightarrow y=-\frac43. \]
С осью \(Oz\):
\[ 9z-4=0 \Rightarrow z=\frac49. \]
Значит, координаты точек пересечения:
\[ \left(-\frac23;0;0\right),\quad \left(0;-\frac43;0\right),\quad \left(0;0;\frac49\right). \]
Если нужны именно длины отрезков, берём модули: \(\frac23,\frac43,\frac49\).
4. Нормали плоскостей:
\[ \vec n_1=(-9;5;-2),\qquad \vec n_2=(-7;-3;9). \]
Угол между плоскостями ищется через угол между нормалями:
\[ \cos\varphi= \frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|} {|\vec n_1|\,|\vec n_2|}. \]
Считаем:
\[ \vec n_1\cdot\vec n_2=(-9)(-7)+5(-3)+(-2)\cdot9=63-15-18=30, \]
\[ |\vec n_1|=\sqrt{81+25+4}=\sqrt{110}, \] \[ |\vec n_2|=\sqrt{49+9+81}=\sqrt{139}. \]
Тогда
\[ \cos\varphi=\frac{30}{\sqrt{110}\sqrt{139}} =\frac{30}{\sqrt{15290}}\approx0{,}243. \]
5. У параллельных плоскостей можно взять одинаковый нормальный вектор. У плоскости \(4x-5y-8z+7=0\) нормаль \((4;-5;-8)\), значит, искомая плоскость имеет вид
\[ 4x-5y-8z+D=0. \]
Подставляем \(B(-10;4;19)\):
\[ 4(-10)-5\cdot4-8\cdot19+D=0, \] \[ -40-20-152+D=0, \] \[ D=212. \]
Ответ:
\[ 4x-5y-8z+212=0. \]
Проверка: подстановка указанных точек в найденные уравнения даёт \(0\). В задаче 3 точки пересечения также обращают уравнение плоскости в верное равенство.
Обсуждение
2 сообщенияВот решения всех заданий контрольной.
1. Плоскость через точку \(M(14;-6;5)\) с нормальным вектором \(\vec n=(-22;2;16)\)
Уравнение плоскости: \[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0. \] Подставляем: \[ -22(x-14)+2(y+6)+16(z-5)=0. \] После упрощения: \[ -22x+2y+16z+240=0 \] или, сократив на \(-2\): \[ \boxed{11x-y-8z-120=0}. \]
2. Уравнения плоскостей
а) Плоскость проходит через ось \(Ox\), поэтому её уравнение имеет вид \[ By+Cz=0. \] Подставляем \(T(15;-8;21)\): \[ -8B+21C=0. \] Можно взять \(B=21,\ C=8\). Тогда: \[ \boxed{21y+8z=0}. \]
б) Плоскость перпендикулярна оси \(Oz\), значит её нормальный вектор направлен вдоль \(Oz\). Уравнение имеет вид \[ z=\text{const}. \] Через точку \(A(-13;5;-24)\): \[ \boxed{z=-24}. \]
в) Плоскость параллельна оси \(Oy\), поэтому коэффициент при \(y\) равен нулю: \[ Ax+Cz+D=0. \] Подставляем \(M(-20;9;12)\) и \(N(3;-9;22)\): \[ -20A+12C+D=0, \] \[ 3A+22C+D=0. \] Вычитая уравнения, получаем \(23A+10C=0\). Возьмём \(A=10,\ C=-23\), тогда \(D=476\). Получаем: \[ \boxed{10x-23z+476=0}. \]
3. Отрезки, отсекаемые плоскостью
\[ -6x-3y+9z-4=0 \] на осях.
Приведём к уравнению в отрезках: \[ -6x-3y+9z=4. \] Разделим на \(4\): \[ -\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}z=1. \] То есть \[ \frac{x}{-2/3}+\frac{y}{-4/3}+\frac{z}{4/9}=1. \] Значит, на осях плоскость отсекает отрезки: \[ \boxed{a=-\frac23,\quad b=-\frac43,\quad c=\frac49}. \] Их длины соответственно: \[ \boxed{\frac23,\quad \frac43,\quad \frac49}. \]
4. Косинус угла между плоскостями
\[ -9x+5y-2z+8=0 \] и \[ -7x-3y+9z-6=0. \]
Нормальные векторы: \[ \vec n_1=(-9;5;-2),\qquad \vec n_2=(-7;-3;9). \] Тогда \[ \cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}. \] Скалярное произведение: \[ (-9)(-7)+5(-3)+(-2)\cdot 9=63-15-18=30. \] Длины: \[ |\vec n_1|=\sqrt{81+25+4}=\sqrt{110}, \] \[ |\vec n_2|=\sqrt{49+9+81}=\sqrt{139}. \] Следовательно, \[ \boxed{\cos\varphi=\frac{30}{\sqrt{110\cdot 139}}=\frac{30}{\sqrt{15290}}}. \]
5. Плоскость, параллельная \(4x-5y-8z+7=0\) и проходящая через \(B(-10;4;19)\)
У параллельной плоскости коэффициенты при \(x,y,z\) сохраняются: \[ 4x-5y-8z+D=0. \] Подставляем точку \(B\): \[ 4(-10)-5\cdot 4-8\cdot 19+D=0, \] \[ -40-20-152+D=0, \] \[ D=212. \] Ответ: \[ \boxed{4x-5y-8z+212=0}. \]
6. Прямая через \(M(-7;22;-10)\) параллельно \(\vec a=(17;20;-11)\)
Канонические уравнения прямой: \[ \boxed{\frac{x+7}{17}=\frac{y-22}{20}=\frac{z+10}{-11}}. \]
7. Прямая через \(M(11;-41;2)\) и \(N(-33;9;-20)\)
Направляющий вектор: \[ \overrightarrow{MN}=(-33-11;\ 9+41;\ -20-2)=(-44;50;-22). \] Сократим на \(2\): \[ (-22;25;-11). \]
Канонические уравнения: \[ \boxed{\frac{x-11}{-22}=\frac{y+41}{25}=\frac{z-2}{-11}}. \]
Параметрические уравнения: \[ \boxed{x=11-22t,\quad y=-41+25t,\quad z=2-11t}. \]
8. Окружность с радиусом \(21\) и центром \(A(-14;30)\)
Уравнение окружности: \[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2. \] Подставляем: \[ \boxed{(x+14)^2+(y-30)^2=441}. \]
Если нужно, могу подробнее разобрать любой из пунктов.
