ответ

Ниже — подробные решения ко всем номерам.

1. Умножение дробей

1.1

\[ \frac{18a^{2}b^{2}}{35c^{3}}\cdot\frac{14c^{2}}{27a^{4}b^{2}} \]

Записываем под одну дробь: \[ =\frac{18\cdot14\cdot a^{2}b^{2}c^{2}}{35\cdot27\cdot a^{4}b^{2}c^{3}} \]

Сокращаем числа: \[ \frac{18}{27}=\frac23,\qquad \frac{14}{35}=\frac25,\qquad \frac23\cdot\frac25=\frac4{15}. \]

Сокращаем буквы: \[ \frac{a^{2}}{a^{4}}=\frac1{a^{2}},\qquad \frac{b^{2}}{b^{2}}=1,\qquad \frac{c^{2}}{c^{3}}=\frac1c. \]

Получаем: \[ \boxed{\frac{4}{15a^{2}c}},\qquad a\neq0,\ c\neq0. \]

1.2

\[ \frac{m^{2}-6m+9}{m^{2}-16}\cdot\frac{m+4}{m-3} \]

Раскладываем на множители: \[ m^{2}-6m+9=(m-3)^{2}, \] \[ m^{2}-16=(m-4)(m+4). \]

Тогда: \[ \frac{(m-3)^{2}}{(m-4)(m+4)}\cdot\frac{m+4}{m-3}. \]

Сокращаем \(m+4\) и одну скобку \(m-3\): \[ \boxed{\frac{m-3}{m-4}}. \]

Ограничения: \(m\neq4,\ m\neq-4,\ m\neq3\).

2. Деление дробей

2.1

\[ \frac{24ab^{2}}{40c^{2}}:\frac{16a^{2}b}{25c} \]

Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ =\frac{24ab^{2}}{40c^{2}}\cdot\frac{25c}{16a^{2}b}. \]

Считаем числа: \[ \frac{24\cdot25}{40\cdot16}=\frac{600}{640}=\frac{15}{16}. \]

Сокращаем буквы: \[ \frac{a}{a^{2}}=\frac1a,\qquad \frac{b^{2}}{b}=b,\qquad \frac{c}{c^{2}}=\frac1c. \]

Получаем: \[ \boxed{\frac{15b}{16ac}},\qquad a\neq0,\ b\neq0,\ c\neq0. \]

2.2

\[ \frac{y^{2}-25}{y^{2}-10y+25}:\frac{y+5}{2y^{2}} \]

Раскладываем: \[ y^{2}-25=(y-5)(y+5), \] \[ y^{2}-10y+25=(y-5)^{2}. \]

Первая дробь: \[ \frac{(y-5)(y+5)}{(y-5)^{2}}=\frac{y+5}{y-5}. \]

Теперь деление заменяем умножением: \[ \frac{y+5}{y-5}\cdot\frac{2y^{2}}{y+5}. \]

Сокращаем \(y+5\): \[ \boxed{\frac{2y^{2}}{y-5}}. \]

Ограничения: \(y\neq5,\ y\neq-5,\ y\neq0\).

3. Упрощение выражения

\[ \left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}-2b\right):\left(\frac1a-\frac1b\right) \]

Шаг 1. Упрощаем первую скобку

\[ \frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b. \]

Тогда: \[ a+b-2b=a-b. \]

Шаг 2. Упрощаем вторую скобку

\[ \frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}=-\frac{a-b}{ab}. \]

Шаг 3. Выполняем деление

\[ (a-b):\left(-\frac{a-b}{ab}\right) =(a-b)\cdot\left(-\frac{ab}{a-b}\right)=-ab. \]

Ответ: \[ \boxed{-ab},\qquad a\neq b,\quad a\neq0,\quad b\neq0. \]

Проверка: при \(a=2,\ b=3\): \[ \frac{4-9}{2-3}-6=\frac{-5}{-1}-6=5-6=-1, \] \[ \frac12-\frac13=\frac16, \] \[ -1:\frac16=-6=-ab. \]

Верно.

4. Задача про поезда

Пусть первый поезд проходит расстояние \(S\) за \(x\) часов. Тогда второй проходит это же расстояние за \(x-a\) часов, причём \(x>a\).

Скорости поездов: \[ v_1=\frac{S}{x},\qquad v_2=\frac{S}{x-a}. \]

Скорость сближения: \[ v_2-v_1=\frac{S}{x-a}-\frac{S}{x}. \]

Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{S}{x-a}-\frac{S}{x} =\frac{Sx-S(x-a)}{x(x-a)} =\frac{Sa}{x(x-a)}. \]

За \(t\) часов поезда сблизятся на расстояние: \[ t\cdot\frac{Sa}{x(x-a)} =\boxed{\frac{Sta}{x(x-a)}}. \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{Sta}{x(x-a)}},\qquad x>a. \]

5. Функция \(y=\dfrac{2}{x-1}-1\)

Область определения

Знаменатель не равен нулю: \[ x-1\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq1. \]

Значит, \[ D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty). \]

Область значений

Дробь \(\frac{2}{x-1}\) не может быть равна нулю, поэтому \[ y\neq-1. \]

Следовательно, \[ E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty). \]

Промежутки монотонности

Найдём производную: \[ y'=\left(\frac{2}{x-1}-1\right)' =-\frac{2}{(x-1)^{2}}. \]

Так как \((x-1)^2>0\) при \(x\neq1\), то \[ y'<0. \]

Значит, функция убывает на каждом из промежутков: \[ (-\infty;1)\quad\text{и}\quad(1;+\infty). \]

Асимптоты

• Вертикальная асимптота: \(x=1\).
• Горизонтальная асимптота: \(y=-1\).

Нули функции

\[ \frac{2}{x-1}-1=0 \] \[ \frac{2}{x-1}=1 \] \[ x-1=2 \] \[ x=3. \]

Точка пересечения с осью \(Ox\): \((3;0)\).

При \(x=0\): \[ y=\frac{2}{-1}-1=-3. \]

Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-3)\).

Таблица значений

\[ \begin{array}{c|c} x & y\\ \hline -1 & -2\\ 0 & -3\\ 2 & 1\\ 3 & 0\\ 5 & -0{,}5 \end{array} \]

Расположение ветвей

Уточняю: в предыдущем ответе я перепутал расположение ветвей.

• при \(x<1\) ветвь расположена ниже прямой \(y=-1\);
• при \(x>1\) ветвь расположена выше прямой \(y=-1\).

График — гипербола \(y=\frac2x\), сдвинутая на \(1\) вправо и на \(1\) вниз:

\[ \boxed{y=\frac{2}{x-1}-1}. \]

Функция убывает на \((-\infty;1)\) и на \((1;+\infty)\), имеет асимптоты \(x=1\) и \(y=-1\).

Ниже — итоговое решение с ответами по всем номерам (сжато, но с ключевыми шагами).

1. Умножение дробей

1.1 [ \frac{18a^{

Чертёж к №5 — график \(y=\dfrac{2}{x-1}-1\)

Схема (масштаб условный): пунктиром — асимптоты \(x=1\) и \(y=-1\).

 y
 │                  ●   (≈1,5; 3)
 │                   ●
 │                    ● (2; 1)
─┼─────┼─────────────┼──────────●────→ x
 │     ┊             ┊        (3; 0)
┈┈┈┈┈┈┈┼┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┼┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ y = −1
  ·   ● (−1; −2)      ┊
      ● (0; −3)       ┊
       ·              ┊
        ·             ┊  x → 1

Как строить (без таблицы на 20 точек):

1. Берём базовую гиперболу \(y=\dfrac{2}{x}\): ветви в I и III четвертях, асимптоты — оси координат.
2. Сдвигаем её на 1 вправо (асимптота \(x=1\)) и на 1 вниз (асимптота \(y=-1\)).
3. Ставим 4–5 контрольных точек и проводим две ветви.

Важно про ветви (в первом ответе я это перепутал, здесь верно):

• при \(x<1\) вся ветвь идёт ниже прямой \(y=-1\) и уходит в \(-\infty\) у вертикальной асимптоты;
• при \(x>1\) ветвь идёт выше прямой \(y=-1\) и уходит в \(+\infty\) у той же асимптоты.

Проверка по точкам: \(x=0:\ \frac{2}{-1}-1=-3\) ✔; \(x=2:\ \frac21-1=1\) ✔; \(x=3:\ \frac22-1=0\) ✔ — значит, ветви расположены правильно и точка \((3;0)\) лежит на оси \(Ox\).

Если нужен чертёж-схема (отрезки и скорости) к задаче №4 про поезда — скажи, нарисую отдельно.