Решить алгоритм

Краткий ответ:

1. \(-\dfrac13\)
2. \(-4\)
3. \(-2\)
4. \(0\)

Первый пример на фото читаю как
\[ \log_6\frac{1}{\sqrt[3]{6}}. \]

Как решать

Главное правило: \[ \log_a b=x \iff a^x=b, \] то есть логарифм показывает, в какую степень надо возвести основание, чтобы получить число.

1) \(\log_6\dfrac{1}{\sqrt[3]{6}}\)

Корень — это дробная степень: \[ \sqrt[3]{6}=6^{1/3}. \] Дробь \(1/6^{1/3}\) даёт отрицательную степень: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{6}}=6^{-1/3}. \] Поэтому \[ \log_6 6^{-1/3}=-\frac13. \]

Проверка: \[ 6^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{6}}. \]

2) \(\log_{1/5}625\)

\[ \frac15=5^{-1},\qquad 625=5^4. \] Значит, \[ \log_{5^{-1}}5^4=-4. \]

Проверка: \[ \left(\frac15\right)^{-4}=5^4=625. \]

3) \(\log_6 36-\log_2 16\)

Считаем каждый логарифм отдельно: \[ \log_6 36=2,\quad потому что\ 6^2=36; \] \[ \log_2 16=4,\quad потому что\ 2^4=16. \] Тогда \[ 2-4=-2. \]

Основания разные, поэтому объединять логарифмы в один нельзя.

4) \(\log_7\log_6 6\)

Сначала внутренний логарифм: \[ \log_6 6=1. \] Теперь внешний: \[ \log_7 1=0, \] так как \(7^0=1\).

Алгоритм для похожих заданий

1. Посмотреть на основание логарифма.
2. Представить число под логарифмом как степень этого основания.
3. Применить \(\log_a a^k=k\).
4. Если логарифмы вложены, считать изнутри наружу.
5. Проверить возведением в степень.

Если в первом примере под кубическим корнем стоит не \(6\), а \(36\), то ответ будет \(-\dfrac23\):
\[ \log_6\frac{1}{\sqrt[3]{36}}=\log_6 6^{-2/3}=-\frac23. \]