Решить алгоритм
Краткий ответ:
- \(-\dfrac13\)
- \(-4\)
- \(-2\)
- \(0\)
- \(0\)
Как решать
Главное правило:
\[ \log_a b=c \iff a^c=b \]
В частности:
\[ \log_a a^x=x \]
Корень переводим в степень:
\[ \sqrt[n]{a}=a^{1/n} \]
1) \(\log_9 \sqrt[3]{\dfrac19}\)
\[ \sqrt[3]{\frac19}=\left(9^{-1}\right)^{1/3}=9^{-1/3} \]
Поэтому:
\[ \log_9 9^{-1/3}=-\frac13 \]
Ответ: \(-\dfrac13\)
2) \(\log_{1/5}625\)
Представим \(625\) как степень \(5\):
\[ 625=5^4 \]
А так как \(\dfrac15=5^{-1}\), то:
\[ 625=\left(\frac15\right)^{-4} \]
Значит:
\[ \log_{1/5}625=-4 \]
Ответ: \(-4\)
3) \(\log_6 36-\log_2 16\)
Считаем каждый логарифм отдельно:
\[ \log_6 36=\log_6 6^2=2 \]
\[ \log_2 16=\log_2 2^4=4 \]
Тогда:
\[ 2-4=-2 \]
Ответ: \(-2\)
Важно: здесь основания разные — \(6\) и \(2\), поэтому объединять логарифмы в один нельзя.
4) \(\log_7 \log_6 6\)
Начинаем с внутреннего логарифма:
\[ \log_6 6=1 \]
Получаем:
\[ \log_7 1=0 \]
Потому что \(\log_a 1=0\) при любом допустимом \(a\).
Ответ: \(0\)
5) \(\log_{14}\log_{0{,}2}\log_6 \sqrt[5]{6}\)
Вложенные логарифмы считаем изнутри наружу.
Сначала:
\[ \sqrt[5]{6}=6^{1/5} \]
Значит:
\[ \log_6 \sqrt[5]{6}=\log_6 6^{1/5}=\frac15 \]
Теперь:
\[ \log_{0{,}2}\frac15 \]
Так как \(0{,}2=\dfrac15\), то:
\[ \log_{1/5}\frac15=1 \]
И последний шаг:
\[ \log_{14}1=0 \]
Ответ: \(0\)
Итог:
- \(-\frac13\)
- \(-4\)
- \(-2\)
- \(0\)
- \(0\)
