Решить алгоритм

Краткий ответ:

1. \(-\dfrac13\)
2. \(-4\)
3. \(-2\)
4. \(0\)
5. \(0\)

Как решать

Главное правило:

\[ \log_a b=c \iff a^c=b \]

В частности:

\[ \log_a a^x=x \]

Корень переводим в степень:

\[ \sqrt[n]{a}=a^{1/n} \]

1) \(\log_9 \sqrt[3]{\dfrac19}\)

\[ \sqrt[3]{\frac19}=\left(9^{-1}\right)^{1/3}=9^{-1/3} \]

Поэтому:

\[ \log_9 9^{-1/3}=-\frac13 \]

Ответ: \(-\dfrac13\)

---

2) \(\log_{1/5}625\)

Представим \(625\) как степень \(5\):

\[ 625=5^4 \]

А так как \(\dfrac15=5^{-1}\), то:

\[ 625=\left(\frac15\right)^{-4} \]

Значит:

\[ \log_{1/5}625=-4 \]

Ответ: \(-4\)

---

3) \(\log_6 36-\log_2 16\)

Считаем каждый логарифм отдельно:

\[ \log_6 36=\log_6 6^2=2 \]

\[ \log_2 16=\log_2 2^4=4 \]

Тогда:

\[ 2-4=-2 \]

Ответ: \(-2\)

Важно: здесь основания разные — \(6\) и \(2\), поэтому объединять логарифмы в один нельзя.

---

4) \(\log_7 \log_6 6\)

Начинаем с внутреннего логарифма:

\[ \log_6 6=1 \]

Получаем:

\[ \log_7 1=0 \]

Потому что \(\log_a 1=0\) при любом допустимом \(a\).

Ответ: \(0\)

---

5) \(\log_{14}\log_{0{,}2}\log_6 \sqrt[5]{6}\)

Вложенные логарифмы считаем изнутри наружу.

Сначала:

\[ \sqrt[5]{6}=6^{1/5} \]

Значит:

\[ \log_6 \sqrt[5]{6}=\log_6 6^{1/5}=\frac15 \]

Теперь:

\[ \log_{0{,}2}\frac15 \]

Так как \(0{,}2=\dfrac15\), то:

\[ \log_{1/5}\frac15=1 \]

И последний шаг:

\[ \log_{14}1=0 \]

Ответ: \(0\)

---

Итог:

1. \(-\frac13\)
2. \(-4\)
3. \(-2\)
4. \(0\)
5. \(0\)