реши
Кратко: в обоих номерах сначала доказываем равенство треугольников, а потом пользуемся тем, что у равных треугольников соответственные элементы равны.
По разметке на доске:
1. Левая задача
Дано: \[ AB=BC,\qquad AD=CD, \] а \(BD\) — общая сторона.
Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\):
\[ AB=CB,\qquad AD=CD,\qquad BD=BD. \]
Значит, треугольники равны по трём сторонам:
\[ \triangle ABD \cong \triangle CBD. \]
Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов:
\[ \angle BAD=\angle BCD, \] \[ \angle ABD=\angle CBD,\qquad \angle ADB=\angle CDB. \]
То есть диагональ \(BD\) делит углы при вершинах \(B\) и \(D\) пополам.
2. Правая задача
Дано: \[ MN=ML,\qquad NK=KL, \] а \(MK\) — общая сторона.
Рассмотрим треугольники \(MNK\) и \(MLK\):
\[ MN=ML,\qquad NK=LK,\qquad MK=MK. \]
По трём сторонам:
\[ \triangle MNK \cong \triangle MLK. \]
Отсюда:
\[ \angle NMK=\angle LMK, \]
то есть \(MK\) делит угол \(NML\) пополам. Также равны соответственные углы:
\[ \angle MNK=\angle MLK,\qquad \angle NKM=\angle LKM. \]
Главная идея: заметить общую диагональ, выписать три пары равных сторон и применить признак равенства треугольников по трём сторонам. После этого равные углы уже получаются автоматически.
Обсуждение
2 сообщенияРеши
Судя по отметкам, нужно доказать равенство треугольников \(BDK\) и \(BNK\) (или что \(DK=KN\)).
Рассмотрим \(\triangle BDK\) и \(\triangle BNK\):
- \(BD=BN\) — по условию;
- \(\angle DBK=\angle KBN\) — по условию;
- \(BK\) — общая сторона.
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними:
\[ \triangle BDK \cong \triangle BNK. \]
Поэтому соответствующие элементы равны:
\[ DK=KN, \] \[ \angle BDK=\angle BNK, \] \[ \angle BKD=\angle BKN. \]
То есть \(BK\) также делит угол \(DKN\) пополам.
