(x+7)(x+1)(x-4)<0 решите неравенство методом интервалов
Ответ:
\[
x\in(-\infty;-7)\cup(-1;4)
\]
Как решать методом интервалов
Находим нули множителей: \[ x+7=0 \Rightarrow x=-7,\quad x+1=0 \Rightarrow x=-1,\quad x-4=0 \Rightarrow x=4. \]
Отмечаем эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (\(<0\)), точки выкалываем: \[ -7,\quad -1,\quad 4. \]
Определяем знак выражения на каждом интервале. Удобно подставлять пробные значения:
\(x<-7\), например \(x=-8\): \[ (-8+7)(-8+1)(-8-4)=(-1)(-7)(-12)<0. \]
\(-7<x<-1\), например \(x=-2\): \[ (5)(-1)(-6)>0. \]
\(-1<x<4\), например \(x=0\): \[ (7)(1)(-4)<0. \]
\(x>4\), например \(x=5\): \[ (12)(6)(1)>0. \]
Получаем чередование знаков: \[ -, \quad +, \quad -, \quad +. \]
- Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком «минус»: \[ (-\infty;-7)\cup(-1;4). \]
Проверка: например, \(x=0\) входит в ответ и даёт \(-28<0\). А \(x=5\) не входит, там \(72>0\). Всё верно.
Ключевой принцип: корни делят числовую прямую на интервалы, внутри каждого интервала знак не меняется. Поэтому достаточно проверить по одной точке в каждом интервале и выбрать нужные знаки.
