Реши задание на изображении
Краткий ответ
- а) \(x=0,\ x=\pm5\); б) \(x=-2{,}5\).
- а) \(x=2,\ x=\pm\frac14\); б) \(x=\pm1\).
- а) \(x=\pm1,\ x=\pm2\); б) действительных корней нет.
- \(x=2{,}5\).
1. а) \(x^3-25x=0\)
Вынесем \(x\):
\[ x(x^2-25)=0 \]
\[ x(x-5)(x+5)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x=0,\quad x=5,\quad x=-5 \]
1. б) \(5(x-2{,}5)-4x=3(2{,}5+3x)\)
Раскроем скобки:
\[ 5x-12{,}5-4x=7{,}5+9x \]
\[ x-12{,}5=7{,}5+9x \]
Перенесём \(x\) в одну сторону, числа — в другую:
\[ -20=8x \]
\[ x=-2{,}5 \]
2. а) \(16x^3-32x^2-x+2=0\)
Сгруппируем слагаемые:
\[ 16x^2(x-2)-(x-2)=0 \]
\[ (x-2)(16x^2-1)=0 \]
Теперь:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad 16x^2-1=0 \]
\[ x=2 \]
\[ x^2=\frac1{16} \]
\[ x=\pm\frac14 \]
2. б) \(x^6-x^4+5x^2-5=0\)
Сгруппируем:
\[ x^4(x^2-1)+5(x^2-1)=0 \]
\[ (x^2-1)(x^4+5)=0 \]
Так как \(x^4+5>0\) при любом \(x\), остаётся:
\[ x^2-1=0 \]
\[ x=\pm1 \]
3. а) \(x^4-5x^2+4=0\)
Биквадратное уравнение. Введём замену:
\[ t=x^2,\quad t\ge0 \]
Получаем:
\[ t^2-5t+4=0 \]
\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=4 \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]
3. б) \(x^4+15x^2+54=0\)
Замена \(t=x^2\ge0\):
\[ t^2+15t+54=0 \]
\[ D=15^2-4\cdot54=225-216=9 \]
\[ t=\frac{-15\pm3}{2} \]
\[ t=-6 \quad \text{или} \quad t=-9 \]
Оба значения отрицательные, а \(x^2\ge0\). Значит, действительных корней нет.
4. \(\dfrac{x}{x+5}+\dfrac{x+5}{x-5}=\dfrac{50}{x^2-25}\)
Сначала найдём ограничения:
\[ x^2-25=(x-5)(x+5) \]
Поэтому:
\[ x\ne-5,\quad x\ne5 \]
Умножим обе части на \((x-5)(x+5)\):
\[ x(x-5)+(x+5)^2=50 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2-5x+x^2+10x+25=50 \]
\[ 2x^2+5x-25=0 \]
\[ D=5^2-4\cdot2\cdot(-25)=25+200=225 \]
\[ x=\frac{-5\pm15}{4} \]
Получаем:
\[ x=2{,}5 \quad \text{или} \quad x=-5 \]
Но \(x=-5\) не подходит по ограничению, потому что знаменатель обращается в нуль. Значит:
\[ x=2{,}5 \]
Проверка для 4:
\[ \frac{2{,}5}{7{,}5}+\frac{7{,}5}{-2{,}5} =\frac13-3=-\frac83 \]
\[ \frac{50}{2{,}5^2-25} =\frac{50}{-18{,}75} =-\frac83 \]
Всё верно.
Главные приёмы: вынесение общего множителя, группировка, замена \(t=x^2\) для биквадратных уравнений и обязательная проверка ограничений в дробных уравнениях.
