Реши задание на изображении
Краткий ответ
a) Нет.
b) Нет.
c) Да.a) \(\cos\alpha=\dfrac35,\quad \operatorname{tg}\alpha=\dfrac43,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac34\).
b) \(\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{21}}5,\quad \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt{21}}2,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}\).
c) \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac23,\quad \sin\alpha=-\dfrac3{\sqrt{13}},\quad \cos\alpha=-\dfrac2{\sqrt{13}}\).
Как это получается
Используем основные формулы:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \]
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \qquad \operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{ctg}\alpha=1. \]
Знак функции выбираем по четверти, в которой лежит угол.
1. Существует ли угол
а) \(\sin\alpha=\frac13,\ \cos\alpha=\frac13\).
Проверяем:
\[ \left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^2=\frac19+\frac19=\frac29\ne1. \]
Значит, такого угла нет.
б) \(\sin\alpha=0{,}2,\ \cos\alpha=0{,}8\).
\[ 0{,}2^2+0{,}8^2=0{,}04+0{,}64=0{,}68\ne1. \]
Такого угла нет.
в) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac35,\ \operatorname{ctg}\alpha=\frac53\).
\[ \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha = \frac35\cdot\frac53=1. \]
Условие выполняется, значит, такой угол существует. Например,
\[ \alpha=\operatorname{arctg}\frac35+\pi k. \]
2. Находим остальные функции
а) \(\sin\alpha=0{,}8,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)
Угол в I четверти, поэтому \(\cos\alpha>0\).
\[ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-0{,}64} =\sqrt{0{,}36} =0{,}6=\frac35. \]
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{0{,}8}{0{,}6} =\frac43. \]
\[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =\frac34. \]
Ответ:
\[ \boxed{\cos\alpha=\frac35,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac43,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\frac34} \]
б) \(\cos\alpha=-\frac25,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\)
Угол в III четверти: \(\sin\alpha<0\), \(\operatorname{tg}\alpha>0\), \(\operatorname{ctg}\alpha>0\).
\[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\frac4{25} =\frac{21}{25}. \]
Так как \(\sin\alpha<0\),
\[ \sin\alpha=-\frac{\sqrt{21}}5. \]
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{21}}5}{-\frac25} = \frac{\sqrt{21}}2. \]
\[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =\frac{2}{\sqrt{21}}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin\alpha=-\frac{\sqrt{21}}5,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{21}}2,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{2}{\sqrt{21}}} \]
в) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac32,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\)
Угол в III четверти: \(\sin\alpha<0\), \(\cos\alpha<0\).
Сначала:
\[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =\frac23. \]
Используем формулу
\[ 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]
\[ 1+\frac94=\frac{13}{4} =\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]
Значит,
\[ \cos^2\alpha=\frac4{13}. \]
Так как \(\cos\alpha<0\),
\[ \cos\alpha=-\frac2{\sqrt{13}}. \]
Теперь:
\[ \sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha = \frac32\cdot\left(-\frac2{\sqrt{13}}\right) = -\frac3{\sqrt{13}}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\operatorname{ctg}\alpha=\frac23,\quad \sin\alpha=-\frac3{\sqrt{13}},\quad \cos\alpha=-\frac2{\sqrt{13}}} \]
Можно записать и без корня в знаменателе:
\[ \sin\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13}, \qquad \cos\alpha=-\frac{2\sqrt{13}}{13}. \]
Главный принцип: сначала определяем четверть и знаки функций, затем используем \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) или связь с тангенсом.
