Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(\angle EOD=140^\circ\).
2. Углы треугольника \(BOC\):
   \(\angle BOC=90^\circ,\quad \angle OBC=74^\circ30',\quad \angle BCO=15^\circ30'\).
3. Нужно построить квадрат, у которого диагональ равна \(2h\), где \(h\) — данный отрезок. Затем проводят два взаимно перпендикулярных диаметра окружности радиуса \(h\), и их концы дают вершины квадрата.

---

1. Прямоугольник

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому

\[ OA=OB. \]

Значит, треугольник \(AOB\) равнобедренный. Так как \(O\) лежит на диагонали \(AC\),

\[ \angle OAB=\angle BAC=50^\circ. \]

Тогда

\[ \angle AOB=180^\circ-2\cdot 50^\circ=80^\circ. \]

Точка \(E\) — середина \(AB\), поэтому \(OE\) является медианой равнобедренного треугольника \(AOB\), проведённой к основанию. Значит, она также биссектриса:

\[ \angle EOB=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \]

Лучи \(OB\) и \(OD\) противоположны, поэтому

\[ \angle EOD=180^\circ-40^\circ=140^\circ. \]

Ответ: \(140^\circ\).

---

2. Ромб

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому сразу

\[ \angle BOC=90^\circ. \]

Дано \(\angle A=31^\circ\). В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\), значит

\[ \angle ABC=180^\circ-31^\circ=149^\circ. \]

Диагональ \(BD\) делит угол \(B\) пополам:

\[ \angle OBC=\frac{149^\circ}{2}=74{,}5^\circ=74^\circ30'. \]

Диагональ \(AC\) делит угол \(C\) пополам, а \(\angle C=\angle A=31^\circ\), поэтому

\[ \angle BCO=\frac{31^\circ}{2}=15{,}5^\circ=15^\circ30'. \]

Проверка:

\[ 90^\circ+74{,}5^\circ+15{,}5^\circ=180^\circ. \]

Ответ: \(90^\circ,\ 74^\circ30',\ 15^\circ30'\).

---

3. Построение квадрата

Пусть данный отрезок имеет длину \(h\). В квадрате перпендикуляр из вершины на диагональ равен половине диагонали. Значит, диагональ квадрата равна \(2h\).

Построение

1. Проведите окружность радиуса \(h\) с центром в точке \(O\).
2. Проведите два взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности: \(AC\) и \(BD\).
3. Соедините точки \(A,B,C,D\) последовательно.

Полученный четырёхугольник — квадрат, потому что его диагонали \(AC\) и \(BD\):

• равны;
• перпендикулярны;
• делятся точкой пересечения пополам.

При этом расстояние от вершины \(B\) до диагонали \(AC\) равно \(BO=h\), то есть данному отрезку.

Проверка: сторона квадрата равна

\[ h\sqrt2, \]

так как \(OA=OB=h\) и треугольник \(AOB\) прямоугольный равнобедренный.