Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. 1. \(18\); 2) \(4{,}5\); 3) \(96\); 4) \(7\).
2. 1. \(x=\pm\sqrt2\); 2) нет действительных корней; 3) \(x=16\); 4) нет решений.
3. 1. \(13\sqrt2\); 2) \(10\); 3) \(49-12\sqrt5\); 4) \(-33\).
4. 1. \(1{,}26\cdot10^5\); 2) \(3{,}5\cdot10^{-3}\).
5. 1. \(a^2\); 2) \(a^3\); 3) \(a^2\).
6. \(0{,}96a^3b^2\).
7. 1. \(\frac{7}{24}\); 2) \(\frac17\).

Как решать

1. Корни. Используем
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\), \(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\), \(\sqrt{a^2}=a\) при \(a\ge0\).

1. \(0{,}5\sqrt{1600}-\frac13\sqrt{36}=0{,}5\cdot40-\frac13\cdot6=20-2=18\).

2. \(\sqrt{0{,}25\cdot81}=\sqrt{0{,}25}\cdot\sqrt{81}=0{,}5\cdot9=4{,}5\).

3. \(\sqrt{6^2\cdot2^8}=\sqrt{6^2}\cdot\sqrt{2^8}=6\cdot2^4=6\cdot16=96\).

4. \(\sqrt{20}\cdot\sqrt5-\frac{\sqrt{63}}{\sqrt7}=\sqrt{100}-\sqrt9=10-3=7\).

2. Уравнения.

У \(x^2=c\): если \(c>0\), то \(x=\pm\sqrt c\); если \(c<0\), действительных корней нет.

1. \(x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2\).

2. \(x^2=-16\) — квадрат не может быть отрицательным, корней нет.

У \(\sqrt x=c\) обязательно \(c\ge0\), затем \(x=c^2\).

3. \(\sqrt x=4\Rightarrow x=4^2=16\).

4. \(\sqrt x=-9\) невозможно: арифметический корень неотрицателен.

3. Упрощение.

1. \(7\sqrt2-3\sqrt8+4\sqrt{18} =7\sqrt2-3\cdot2\sqrt2+4\cdot3\sqrt2 =13\sqrt2\).

2. \((\sqrt{90}-\sqrt{40})\cdot\sqrt{10} =\sqrt{900}-\sqrt{400} =30-20=10\).

3. \((3\sqrt5-2)^2 =(3\sqrt5)^2-2\cdot3\sqrt5\cdot2+2^2 =45-12\sqrt5+4 =49-12\sqrt5\).

4. Разность квадратов: \[ (2\sqrt3+3\sqrt5)(2\sqrt3-3\sqrt5) =(2\sqrt3)^2-(3\sqrt5)^2 =12-45=-33. \]

4. Стандартный вид: \(a\cdot10^n\), где \(1\le a<10\).

1. \(126000=1{,}26\cdot10^5\).

2. \(0{,}0035=3{,}5\cdot10^{-3}\).

5. Свойства степеней:
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\).

1. \(a^7\cdot a^{-5}=a^{7-5}=a^2\).

2. \(a^{-10}:a^{-13}=a^{-10-(-13)}=a^3\).

3. \((a^9)^{-2}\cdot a^{20}=a^{-18}\cdot a^{20}=a^2\).

6. Перемножаем коэффициенты, а показатели при одинаковых основаниях складываем: \[ 0{,}8a^{11}b^{-14}\cdot1{,}2a^{-8}b^{16} =0{,}8\cdot1{,}2\cdot a^{11-8}\cdot b^{-14+16} =0{,}96a^3b^2. \]

7. Используем \(a^{-n}=\frac1{a^n}\).

1. \[ 2^{-3}+6^{-1}=\frac18+\frac16=\frac3{24}+\frac4{24}=\frac7{24}. \]

2. \[ \frac{7^{-8}\cdot7^{-9}}{7^{-16}} =\frac{7^{-17}}{7^{-16}} =7^{-17-(-16)} =7^{-1} =\frac17. \]

Проверка: \(4{,}5^2=20{,}25=0{,}25\cdot81\); \(\sqrt{16}=4\); \(7^{-1}=\frac17\). Всё сходится.