Реши задание на изображении

На изображении номера 6, 8, 10, 12.
Номера 6 и 8 уже были в предыдущем решении — их ответы сохраняются.

Ответы: \[ 6)\ x=-11,\qquad 8)\ x=4,\qquad 10)\ x=5,\qquad 12)\ x=-\frac18. \]

6) \(\log_3(-2-x)=2\)

ОДЗ: \[ -2-x>0 \Rightarrow x<-2. \]

\[ -2-x=3^2=9, \] \[ -x=11, \] \[ x=-11. \]

\(-11<-2\), значит корень подходит.

---

8) \(\log_3(2x+1)=2\)

ОДЗ: \[ 2x+1>0 \Rightarrow x>-\frac12. \]

\[ 2x+1=9, \] \[ 2x=8, \] \[ x=4. \]

---

10) \(\log_5(4x+5)=2+\log_5(x-4)\)

ОДЗ: \[ 4x+5>0,\qquad x-4>0. \] Значит: \[ x>4. \]

Так как \(2=\log_5 25\), получаем: \[ \log_5(4x+5)=\log_5 25+\log_5(x-4), \] \[ \log_5(4x+5)=\log_5\bigl(25(x-4)\bigr). \]

Значит: \[ 4x+5=25(x-4), \] \[ 4x+5=25x-100, \] \[ 105=21x, \] \[ x=5. \]

\(5>4\), поэтому корень подходит.

Ответ: \(x=5\).

Проверка: \[ \log_5(20+5)=\log_5 25=2, \] \[ 2+\log_5(5-4)=2+\log_5 1=2. \]

---

12) \(\log_2(-x)=-3\)

ОДЗ: \[ -x>0 \Rightarrow x<0. \]

По определению логарифма: \[ -x=2^{-3}=\frac18. \]

Умножаем на \(-1\): \[ x=-\frac18. \]

\(-\frac18<0\), значит корень подходит.

Ответ: \(x=-\frac18\).

---

Ключевое правило: \[ \log_a f(x)=c \iff f(x)=a^c, \] причём обязательно \(f(x)>0\).

Это продолжение той же темы — решение логарифмических уравнений.

1. \(\log_7(8+x)=\log_7 10\)

ОДЗ: \[ 8+x>0 \Rightarrow x>-8. \]

Логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому равны их аргументы: \[ 8+x=10, \] \[ x=2. \]

Корень подходит в ОДЗ.

Ответ: \(x=2\).

---

2. \(\log_5(5-x)=2\)

ОДЗ: \[ 5-x>0 \Rightarrow x<5. \]

По определению логарифма: \[ 5-x=5^2=25. \]

\[ -x=20, \] \[ x=-20. \]

\(-20<5\), значит корень подходит.

Ответ: \(x=-20\).

Это продолжение той же темы — логарифмические уравнения. На слайде четыре уравнения.

Ответы: \[ \text{а) }x=1;\ 2 \qquad \text{б) }x=8 \qquad \text{в) решений нет} \qquad \text{г) }x=-1. \]

а) \(\log_7(x^2-3x+3)=0\)

\[ x^2-3x+3=7^0=1, \] \[ x^2-3x+2=0, \] \[ (x-1)(x-2)=0. \]

Значит: \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=2. \]

Оба значения дают положительный аргумент.

Ответ: \(1;\,2\).

---

б) \(\log_{0{,}4}(2x-3)=\log_{0{,}4}(x+5)\)

Логарифмы с одинаковым основанием равны, значит равны их аргументы: \[ 2x-3=x+5, \] \[ x=8. \]

Проверка: \[ 2\cdot 8-3=13>0,\qquad 8+5=13>0. \]

Ответ: \(x=8\).

---

в) \(\lg(x-7)=\lg(3x-9)\)

ОДЗ: \[ x-7>0,\qquad 3x-9>0, \] то есть \[ x>7. \]

Приравниваем аргументы: \[ x-7=3x-9, \] \[ -7+9=2x, \] \[ 2=2x, \] \[ x=1. \]

Но \(x=1\) не удовлетворяет ОДЗ \(x>7\). Это посторонний корень.

Ответ: решений нет.

---

г) \(\log_3(x^2-6x)=\log_3(5-2x)\)

ОДЗ: \[ x^2-6x>0, \] \[ x(x-6)>0 \Rightarrow x<0 \text{ или } x>6; \] и \[ 5-2x>0 \Rightarrow x<2{,}5. \]

Вместе: \[ x<0. \]

Приравниваем аргументы: \[ x^2-6x=5-2x, \] \[ x^2-4x-5=0, \] \[ (x-5)(x+1)=0. \]

Корни: \[ x=5,\qquad x=-1. \]

По ОДЗ подходит только \(x=-1\).

Ответ: \(x=-1\).

---

Если верхняя строка кадра тоже относится к заданию: \[ \log_{\frac1{81}}x=-\frac32, \] то \[ x=\left(\frac1{81}\right)^{-\frac32}=81^{\frac32}=9^3=729. \]

Ответ: \(x=729\).

Это продолжение той же темы — логарифмические неравенства.

Сначала учитываем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным. Затем, если основание \(a>1\), знак неравенства сохраняется, а если \(0<a<1\) — меняется на противоположный.

Ответы

Верхний блок:

а) \([8;+\infty)\)
б) \((3;4)\)
в) \(\left(-\frac23;10\right]\)
г) \((-\infty;2)\cup(3;+\infty)\)

Нижний блок:

а) \((4;+\infty)\)
б) \(\left(\frac12;5\right]\)
в) \((-\infty;-2)\cup(3;4)\)
г) \([-1;1)\cup(2;5]\)

---

Верхний блок

а) \(\log_5(x-3)\ge 1\)

ОДЗ: \[ x-3>0 \Rightarrow x>3. \]

Так как \(1=\log_5 5\), а основание \(5>1\): \[ x-3\ge 5, \] \[ x\ge 8. \]

Ответ: \([8;+\infty)\).

---

б) \(\log_{\frac12}(2x-6)>-1\)

ОДЗ: \[ 2x-6>0 \Rightarrow x>3. \]

\[ -1=\log_{\frac12}2. \]

Основание \(\frac12<1\), поэтому знак неравенства меняется: \[ 0<2x-6<2. \]

\[ 6<2x<8, \] \[ 3<x<4. \]

Ответ: \((3;4)\).

---

в) \(\log_4\left(\frac{3x}{2}+1\right)\le 2\)

ОДЗ: \[ \frac{3x}{2}+1>0 \Rightarrow x>-\frac23. \]

\[ 2=\log_4 16. \]

Основание \(4>1\): \[ \frac{3x}{2}+1\le 16, \] \[ \frac{3x}{2}\le15, \] \[ x\le10. \]

С учётом ОДЗ: \[ -\frac23<x\le10. \]

Ответ: \(\left(-\frac23;10\right]\).

---

г) \(\log_{0{,}1}(x^2-5x+106)<-2\)

Квадратный трёхчлен \(x^2-5x+106\) всегда положителен, так как его дискриминант отрицателен.

\[ -2=\log_{0{,}1}100. \]

Основание \(0{,}1<1\), поэтому знак меняется: \[ x^2-5x+106>100, \] \[ x^2-5x+6>0, \] \[ (x-2)(x-3)>0. \]

Ответ: \[ (-\infty;2)\cup(3;+\infty). \]

---

Нижний блок

а) \(\lg(2x-3)>\lg(x+1)\)

ОДЗ: \[ 2x-3>0,\quad x+1>0 \Rightarrow x>\frac32. \]

Основание \(10>1\), значит: \[ 2x-3>x+1, \] \[ x>4. \]

Ответ: \((4;+\infty)\).

---

б) \(\log_{\frac13}(2x-1)\ge \log_{\frac13}(x+4)\)

ОДЗ: \[ 2x-1>0 \Rightarrow x>\frac12. \]

Основание \(\frac13<1\), поэтому знак неравенства меняется: \[ 2x-1\le x+4, \] \[ x\le5. \]

С учётом ОДЗ: \[ \frac12<x\le5. \]

Ответ: \(\left(\frac12;5\right]\).

---

в) \(\log_2(x^2-2x-2)>\log_2(4-x)\)

ОДЗ: \[ x^2-2x-2>0, \] \[ x<1-\sqrt3 \quad \text{или}\quad x>1+\sqrt3. \]

Кроме того: \[ 4-x>0 \Rightarrow x<4. \]

То есть: \[ x<1-\sqrt3 \quad \text{или}\quad 1+\sqrt3<x<4. \]

Основание \(2>1\), поэтому: \[ x^2-2x-2>4-x, \] \[ x^2-x-6>0, \] \[ (x-3)(x+2)>0. \]

Значит: \[ x<-2 \quad \text{или}\quad x>3. \]

С учётом ОДЗ: \[ x<-2 \quad \text{или}\quad 3<x<4. \]

Ответ: \[ (-\infty;-2)\cup(3;4). \]

---

г) \(\log_{0{,}7}(x^2-3x+2)\ge \log_{0{,}7}(x+7)\)

ОДЗ: \[ x^2-3x+2>0, \] \[ (x-1)(x-2)>0 \Rightarrow x<1 \text{ или } x>2. \]

Также: \[ x+7>0 \Rightarrow x>-7. \]

Значит: \[ x\in(-7;1)\cup(2;+\infty). \]

Основание \(0{,}7<1\), поэтому знак неравенства меняется: \[ x^2-3x+2\le x+7, \] \[ x^2-4x-5\le0, \] \[ (x-5)(x+1)\le0, \] \[ -1\le x\le5. \]

Пересекаем с ОДЗ: \[ [-1;1)\cup(2;5]. \]

Ответ: \[ [-1;1)\cup(2;5]. \]

Это продолжение той же темы — логарифмические уравнения.

Ответы: \[ 1)\ x=-42;\qquad 2)\ x=21;\qquad 3)\ x=-13; \] \[ 4)\ x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2},\quad x=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}. \]

1) \(\log_{\frac17}(7-x)=-2\)

ОДЗ: \[ 7-x>0 \Rightarrow x<7. \]

\[ 7-x=\left(\frac17\right)^{-2}=49, \] \[ -x=42, \] \[ x=-42. \]

Корень подходит в ОДЗ.

---

2) \(\log_5(4+x)=2\)

ОДЗ: \[ 4+x>0. \]

\[ 4+x=5^2=25, \] \[ x=21. \]

---

3) \(\log_{\frac14}(12-4x)=-3\)

ОДЗ: \[ 12-4x>0 \Rightarrow x<3. \]

\[ 12-4x=\left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64, \] \[ -4x=52, \] \[ x=-13. \]

---

4) \(\log_{\frac12}^2(x^2+x)-\log_{\frac12}(x^2+x)=0\)

Здесь \[ \log_{\frac12}^2 A=(\log_{\frac12}A)^2. \]

ОДЗ: \[ x^2+x>0, \] \[ x(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>0. \]

Обозначим: \[ t=\log_{\frac12}(x^2+x). \]

Тогда: \[ t^2-t=0, \] \[ t(t-1)=0, \] \[ t=0 \quad \text{или}\quad t=1. \]

Если \(t=0\): \[ \log_{\frac12}(x^2+x)=0, \] \[ x^2+x=1, \] \[ x^2+x-1=0, \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}. \]

Если \(t=1\): \[ \log_{\frac12}(x^2+x)=1, \] \[ x^2+x=\frac12, \] \[ x^2+x-\frac12=0, \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}. \]

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.