Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как это получается

Способ 1. Теорема Виета (самый быстрый)

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) корни удовлетворяют условиям:

\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q\]

У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит нужны два числа:

• сумма \(=5\),
• произведение \(=6\).

Подбираем: \(2+3=5\) и \(2\cdot3=6\). Подходит пара 2 и 3.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\] \[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}\] \[\frac{5+1}{2}=3,\qquad \frac{5-1}{2}=2\]

Способ 3. Разложение на множители

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Проверка

• \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✓
• \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✓

Принцип для похожих заданий

1. Если коэффициент перед \(x^2\) равен 1, сначала пробуй Виета: ищи два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\). Это быстрее всего, когда корни целые.
2. Если подбор не идёт (корни нецелые или с корнем), считай дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
3. Следи за знаками: при \(q>0\) корни одного знака (оба положительные, если \(p<0\)); при \(q<0\) — разного знака.
4. Всегда подставляй корни обратно в уравнение — так ошибка в знаке сразу видна.