195

Краткий ответ

а) \(x\in(-\infty;-1{,}2)\cup(4;6)\)

б) \(x\in\left(\dfrac17;\dfrac13\right)\cup\left(\dfrac12;+\infty\right)\)

Как решать

Используем метод интервалов:

1. Находим нули каждого множителя.
2. Отмечаем их на числовой прямой. Неравенства строгие, поэтому точки выколотые.
3. Определяем знак выражения на одном промежутке, дальше знаки чередуются, если каждый корень встречается один раз.

а) \((x+1{,}2)(6-x)(x-4)>0\)

Нули:

\[ x=-1{,}2,\quad x=6,\quad x=4 \]

В порядке возрастания:

\[ -1{,}2;\ 4;\ 6 \]

Знаки:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-1{,}2) & (-1{,}2;4) & (4;6) & (6;+\infty)\\ \hline \text{знак} & + & - & + & - \end{array} \]

Например, при \(x=0\):

\[ (1{,}2)\cdot 6\cdot(-4)<0 \]

Значит, на \((-1{,}2;4)\) знак минус.

Нам нужен знак \(>0\), поэтому:

\[ \boxed{(-\infty;-1{,}2)\cup(4;6)} \]

б) \(\left(\dfrac13-x\right)\left(\dfrac12-x\right)\left(\dfrac17-x\right)<0\)

Нули:

\[ x=\frac13,\quad x=\frac12,\quad x=\frac17 \]

В порядке возрастания:

\[ \frac17;\ \frac13;\ \frac12 \]

Знаки:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & \left(-\infty;\frac17\right) & \left(\frac17;\frac13\right) & \left(\frac13;\frac12\right) & \left(\frac12;+\infty\right)\\ \hline \text{знак} & + & - & + & - \end{array} \]

Например, при \(x=0\):

\[ \frac13\cdot\frac12\cdot\frac17>0 \]

Нам нужен знак \(<0\), значит берём промежутки со знаком минус:

\[ \boxed{\left(\frac17;\frac13\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]

Главное: находим нули, расставляем их по порядку, определяем знак на одном интервале и чередуем знаки через каждый простой корень.