построй сечения

Кратко

• б) Сечение — пятиугольник
  \[ Q-P-M-R-K, \] где \(Q\in AB\), \(P\in BB_1\), \(M\in CC_1\), \(R\in DD_1\), \(K\in AD\).

• в) Сечение — четырёхугольник
  \[ Q-K-R-P, \] где \(Q\in A_1B_1\), \(K\in BB_1\), \(R\in CC_1\), \(P\in C_1D_1\).
  Точка \(M\) лежит внутри стороны \(PQ\), но вершиной сечения не является.

Как строить: главный принцип

Плоскость пересекает каждую грань куба по отрезку. Если две точки сечения лежат в одной грани, их можно соединить. Если нет — через уже полученную прямую в грани находят её пересечение с соседней гранью. Вспомогательные точки на продолжениях рёбер не обводят в готовом сечении.

б) Построение

1. \(P\) и \(M\) лежат в грани \(BCC_1B_1\). Соединяем \(PM\) — это след плоскости в этой грани.
2. Продолжаем \(PM\) до пересечения с прямой \(BC\) в точке \(T\).
3. Точки \(K\) и \(T\) лежат в плоскости нижней грани. Проводим \(KT\) — след на основании.
   Пусть \[ Q=KT\cap AB,\qquad S=KT\cap CD \] (пересечения могут быть на продолжениях рёбер).
4. В задней грани \(DCC_1D_1\) соединяем \(S\) и \(M\). Пусть \[ R=SM\cap DD_1. \]
5. Соединяем последовательно: \[ Q-P-M-R-K-Q. \]

Это и есть сечение — пятиугольник.

Проверка:
\(QP\) лежит в передней грани, \(PM\) — в правой, \(MR\) — в задней, \(RK\) — в левой, \(KQ\) — в нижней. Всё замыкается.

в) Построение

1. \(P\) и \(M\) лежат в верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\). Проводим прямую \(PM\).
2. Продолжаем её до пересечения с ребром \(A_1B_1\): \[ Q=PM\cap A_1B_1. \] Точка \(M\) оказывается внутри отрезка \(PQ\).
3. Продолжаем \(PM\) в другую сторону до пересечения с продолжением ребра \(B_1C_1\) в точке \(X\).
4. \(Q\) и \(K\) лежат в передней грани \(ABB_1A_1\), поэтому соединяем \(QK\).
5. \(X\) и \(K\) лежат в правой грани \(BCC_1B_1\). Проводим \(XK\); пусть \[ R=XK\cap CC_1. \]
6. Соединяем последовательно: \[ Q-K-R-P-Q. \]

Получается четырёхугольное сечение.

Проверка:
\(QK\) — в передней грани, \(KR\) — в правой, \(RP\) — в задней, \(PQ\) — в верхней. Поэтому сечение замкнуто и построено верно.