Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).

Как рассуждать:

1. Заметим, что уравнение можно разложить на множители. Ищем два числа, которые:

   • в сумме дают \(5\),
   • в произведении дают \(6\).

   Это \(2\) и \(3\), потому что \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).

2. Тогда: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

3. Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Значит, корни найдены верно.

Принцип: если уравнение имеет вид \(x^2+bx+c=0\), часто удобно подобрать такие числа \(m\) и \(n\), что \[ m+n=-b,\qquad mn=c, \] тогда \(x^2+bx+c=(x-m)(x-n)\). Если подобрать трудно, можно решать через дискриминант: \[ D=b^2-4c,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2}. \] Здесь \(D=25-24=1\), поэтому \(x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}\), то есть \(2\) и \(3\).