Тема: Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью 19 Расстояние от точки до плоскости Рассмотрим плоскость а и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости а, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью а (рис. 51). Отрезок АН называется перпенди-куляром, проведенным из точки А к плоскости а, а точка Н - основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости а какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а, а точка М — основанием наклонной. Отрезок НМ называется про-екцией наклонной на плоскость о. Сравним перпендикуляр АН и наклонную АМ: в прямоугольном тре-угольнике АМН сторона АН _ катет. а стороне АМ - гипотенуза, поэтому АН < АМ. Итак, перпендикуляр. проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Следовательно, из всех расстояний от точ- ки А до различных точек плоскости а наименьшим яв-ляется расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости а, называется расстоянием от точки А до плоскости а. Когда мы говорим, что некоторый предмет, например лампочка уличного фонаря, находится на та-кой-то высоте, скажем 6 м от земли, то имеем в виду, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампоч-ки к плоскости земли (рис. 52). Замечания 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плос-кости. В самом деле, рассмотрим перпендикуляры АА, и ММо, проведенные из двух произвольных точек А и М плоскости а к параллельной ей плоскости В. Так как AA, 1 В и ММ. L B, то AA, | ММ.. Отсюда следует, что ММ, = АА, (свойство 2° , п. 11), т. е. расстояние от любой точки М плоскости а до плоскости В равно длине отрезка АА. Очевидно, все точки плоскости В находятся на таком же расстоянии от плоскости а. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называ-ется расстоянием между параллельными плоскостями. Как уже отмечалось, примером параллель- ных плоскостей служат плоскости пола и потолка ком-наты. Все точки потолка находятся на одинаковом рас-стоянии от пола. Это расстояние и есть высота комнаты. 2. Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости (за-дача 144). В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. 3. Если две прямые скрещивающиеся, то, как было доказано в п. 7, через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоя-нием между скрещивающимися прямыми. 20 Теорема о трех перпендикулярах Теорема Прямая, проведенная в плоскости через основание на-клонной перпендикулярно к ее проекции на эту плос-кость, перпендикулярна и к самой наклонной. Доказательство Обратимся к рисунку 53, на котором отре- зок АН — перпендикуляр к плоскости а, АМ — на-клонная, а — прямая, проведенная в плоскости а через ٢٣٦م: точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что а 1 AM. Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а пер- пендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, ле-жащим в плоскости АМН (а 1 НМ по условию и а L AH, так как АН 1 a). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоско- сти АМН, в частности а 1 АМ. Теорема доказана. Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и АМ. Справедлива также обратная теорема: пря- мая, проведенная в плоскости через основание на-клонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. По аналогии с доказательством прямой теоремы, используя рисунок 53, докажите эту тео-рему самостоятельно (задача 153). 21 Угол между прямой и плоскостью В п. 19 было дано определение проекции наклонной на плоскость. Введем теперь понятие про-екции* произвольной фигуры. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. На рисунке 54 точка М1 — проекция точки М на плоскость а, а N — проекция самой точ-ки N на ту же плоскость (N E а). Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Если мы построим проекции всех то-чек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F,, которая называется проекцией фигуры Е на данную плоскость. На рисунке 54 треугольник F, проекция треугольника F на плоскость а. Докажем теперь, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Данную плоскость обозначим буквой а, я произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости а, — буквой а (рис. 55). Из какой-нибудь точ-ки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоскости а и рассмотрим плоскость В, проходящую через а и МН. Плоскости а и В пересекаются по некоторой прямой а. Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость а. В самом деле, возьмем произ-вольную точку М, прямой а и проведем в плоскости В прямую М,H1, параллельную прямой МН (Н! — точка пересечения прямых М,Н, и а). По первой теореме п. 16 М,Н, 1 а, и, значит, точка Н, является проекцией точки М, на плоскость а. Мы доказали, что проекция произвольной точки прямой а лежит на прямой аз. Аналогично доказывается, что любая точка прямой а, явля-ется проекцией некоторой точки прямой а. Следова-тельно, а, — проекция прямой а на плоскость а. Из доказанного утверждения следует, что проекцией отрезка АВ, не перпендикулярного к пло-скости, является отрезок, концами которого служат проекции точек А и В. Поэтому определение проекции наклонной (п. 19) полностью согласуется с общим определением проекции фигуры. Используя понятие проекции прямой на плоскость, дадим определение угла между прямой и плоскостью. Определение Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Можно доказать, что угол фо между данной прямой АМ и плоскостью а (рис. 56) является наи-меньшим из всех углов ф, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку А (задача 162). Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. Если данная прямая параллельна плоско- сти, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0°.) Замечание Наряду с рассмотренной в этом пункте пря- моугольной проекцией и параллельной проекцией, речь о которой пойдет в приложении 1, иногда используется центральная проекция. Она определяется так. Рассмотрим произвольную плоскость а и какую-нибудь точку О, не лежащую в этой плоскости. Пусть В — плоскость, проходящая через точку О и параллельная плоскости а. Центральной проекцией (с центром О) точки М, не лежащей в плоскости В, на плоскость а называется точка М, пересечения прямой ОМ с плоскостью а. Центральной проекцией фигуры на плоскость а называется множество центральных проекций на плоскость а всех точек этой фигуры, не лежащих в плоскости В. Примером центральной проекции фигуры является ее фотографический снимок. Помоги разобрать параграф