реши
Краткий ответ: да, верно. Более того, обязательно выполнено хотя бы одно из равенств: \[ \angle A=\angle C \quad\text{или}\quad \angle B=\angle D. \]
Доказательство.
Обозначим углы четырёхугольника просто \(A,B,C,D\). Для выпуклого четырёхугольника \[ A+B+C+D=360^\circ. \]
Углы между прямыми будем рассматривать по модулю \(180^\circ\): прямая не имеет направления, поэтому два направления, отличающиеся на \(180^\circ\), — это одно и то же.
При обходе \(ABCD\) направление стороны меняется:
- от \(AB\) к \(CD\) — на \((180^\circ-B)+(180^\circ-C)\);
- от \(BC\) к \(AD\) — на \((180^\circ-C)+(180^\circ-D)\).
По модулю \(180^\circ\) это даёт соответственно \[ -(B+C)\quad\text{и}\quad -(C+D). \]
По условию углы между этими парами прямых равны. Для неориентированных углов это значит, что направленные углы совпадают или противоположны по знаку: \[ B+C\equiv \pm(C+D)\pmod{180^\circ}. \]
Разберём два случая.
Если \(B+C\equiv C+D\pmod{180^\circ}\), то \[ B\equiv D\pmod{180^\circ}. \] Так как \(B,D\) лежат между \(0^\circ\) и \(180^\circ\), получаем \(B=D\).
Если \(B+C\equiv -(C+D)\pmod{180^\circ}\), то \[ B+2C+D\equiv0\pmod{180^\circ}. \] Но \[ B+2C+D=(A+B+C+D)+(C-A)=360^\circ+C-A, \] поэтому \[ C-A\equiv0\pmod{180^\circ}. \] Значит, \(C=A\).
Итак, в любом случае в четырёхугольнике есть два равных угла — либо противоположные углы \(A\) и \(C\), либо противоположные углы \(B\) и \(D\).
