Реши 1 вариант

Краткий ответ

1. Прямая \(MN\) лежит в грани \(BCC_1B_1\). Поэтому:

   • с плоскостью \(A_1B_1C_1\) она пересекается в точке \(M\);
   • с плоскостью \(ABC\) — в точке \(X=MN\cap BC\) (на продолжении \(BC\) за \(C\)).

2. На рисунке 3 сечение — пятиугольник \(MYNPW\) (построение ниже).
   На рисунке 2 видно только две отмеченные точки — \(B\) и \(M\); через две точки можно провести бесконечно много плоскостей, поэтому сечение не определено однозначно.

Задание 1. Как построить

\(M\in B_1C_1\), \(N\in CC_1\), значит обе точки лежат в плоскости \(BCC_1B_1\). Прямая \(MN\) целиком лежит в этой грани.

• Верхняя грань \(A_1B_1C_1\) пересекается с \(BCC_1B_1\) по прямой \(B_1C_1\). Так как \(M\in B_1C_1\), то \(M\) и есть точка пересечения \(MN\) с плоскостью \(A_1B_1C_1\).
• Нижняя грань \(ABC\) пересекается с \(BCC_1B_1\) по прямой \(BC\). Продолжаем \(MN\) до пересечения с \(BC\); получаем точку \(X\). Это и есть точка пересечения \(MN\) с плоскостью \(ABC\). На рисунке \(X\) окажется на продолжении \(BC\) за \(C\).

Задание 2, рисунок 3

По рисунку считаем:
\(M\in AD\), \(N\in CC_1\), \(P\in B_1C_1\).

Построение:

1. Соединяем \(P\) и \(N\) — отрезок в грани \(BCC_1B_1\).
   Продолжаем \(PN\) до пересечения с прямой \(BC\):
   \[ X=PN\cap BC. \]

2. В нижней плоскости \(ABC\) через \(M\) и \(X\) проводим прямую. Она пересекает ребро \(CD\) в точке \(Y\):
   \[ Y=MX\cap CD. \]

3. Соединяем \(Y\) и \(N\) — отрезок в грани \(CDD_1C_1\). Продолжаем \(YN\) до пересечения с прямой \(C_1D_1\):
   \[ Z=YN\cap C_1D_1. \]

4. В верхней грани через \(P\) и \(Z\) проводим прямую. Она пересекает ребро \(A_1D_1\) в точке \(W\):
   \[ W=PZ\cap A_1D_1. \]

5. Соединяем \(W\) с \(M\) — отрезок в грани \(AA_1D_1D\).

Сечение:
\[ \boxed{M-Y-N-P-W} \] — пятиугольник.

Проверка

• \(M\) и \(Y\) лежат в нижней грани \(ABCD\), поэтому \(MY\) — сторона сечения в этой грани.
• \(Y\) и \(N\) лежат в правой грани \(CDD_1C_1\), поэтому \(YN\) — сторона сечения там.
• \(N\) и \(P\) лежат в грани \(BCC_1B_1\).
• \(P\) и \(W\) лежат в верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\).
• \(W\) и \(M\) лежат в левой грани \(AA_1D_1D\).

Все стороны сечения лежат в соответствующих гранях куба.

По рисунку 2

На нём я вижу только точки \(B\) и \(M\) (\(M\in CD\)). Через две точки проходит бесконечно много плоскостей, поэтому однозначного сечения нет. Если в задании есть третья отмеченная точка, укажи, на каком она ребре, — тогда сечение можно достроить по тому же принципу: сначала след на нижней грани, затем параллельные линии в параллельных гранях.