номер 403 и 412
403. Ответ: \(18\) см.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ AC=BD=12,\qquad AO=BO=6. \]
Рассмотрим \(\triangle ACD\). Он прямоугольный, \(\angle CAD=30^\circ\), \(AC=12\) — гипотенуза. Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[ CD=AC\cdot\sin30^\circ=12\cdot\frac12=6. \] В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому \[ AB=CD=6. \]
В \(\triangle AOB\): \[ AO=BO=6,\qquad AB=6, \] значит, треугольник равносторонний. Его периметр: \[ P_{AOB}=6+6+6=18\text{ см}. \]
Проверка: \(AD=12\cos30^\circ=6\sqrt3\), тогда \[ AC=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2} =\sqrt{36+108}=12. \] Всё сходится.
412. Ответ: \(24\) см.
Пусть сторона квадрата равна \(t\). Тогда \[ CD=DE=t. \]
Так как сторона \(CD\) лежит на катете \(CA\), \[ AD=AC-CD=12-t. \]
Треугольник \(ABC\) — равнобедренный прямоугольный, поэтому \[ \angle A=45^\circ. \] Отрезок \(DE\) перпендикулярен \(AC\), а точка \(E\) лежит на гипотенузе \(AB\). Значит, \(\triangle ADE\) тоже прямоугольный с углом \(45^\circ\), то есть равнобедренный: \[ AD=DE=t. \]
Получаем уравнение: \[ 12-t=t, \] \[ 2t=12, \] \[ t=6. \]
Тогда периметр квадрата: \[ P_{CDEF}=4t=4\cdot6=24\text{ см}. \]
Итог:
- № 403: \(18\) см;
- № 412: \(24\) см.
Обсуждение
4 сообщения8 класс
Понял, 8 класс — объясню без синусов и косинусов.
№ 403. Ответ: 18 см.
- Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам:
\[ AC=BD=12,\quad AO=BO=6. \] - В прямоугольном \(\triangle ACD\) угол \(CAD=30^\circ\), значит катет \(CD\), лежащий против него, равен половине гипотенузы: \[ CD=\frac{12}{2}=6. \] Тогда \(AB=CD=6\).
- В \(\triangle AOB\): \[ AO=BO=AB=6, \] треугольник равносторонний. Его периметр: \[ P=6+6+6=18\text{ см}. \]
№ 412. Ответ: 24 см.
- Пусть сторона квадрата \(x\). Тогда \[ CD=DE=x,\qquad AD=12-x. \]
- \(\triangle ABC\) — равнобедренный прямоугольный, поэтому \(\angle A=45^\circ\). Тогда \(\triangle ADE\) тоже имеет угол \(45^\circ\), то есть он равнобедренный: \[ AD=DE. \]
- Получаем: \[ 12-x=x \quad\Rightarrow\quad 2x=12 \quad\Rightarrow\quad x=6. \]
- Периметр квадрата: \[ P=4x=4\cdot6=24\text{ см}. \]
Итог: № 403 — \(18\) см; № 412 — \(24\) см.
Если номера в вашем учебнике с другими условиями, пришлите фото страницы — сверю.
давай
Давай, пришли фото страницы с номерами 403 и 412 — сверю условия и при необходимости исправлю решение.
