Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как решать: два способа

Способ 1. По теореме Виета (уравнение приведённое, т.е. коэффициент при \(x^2\) равен 1)

Для \(x^2+px+q=0\) корни удовлетворяют:

\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q\]

Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит:

• сумма корней \(=5\);
• произведение корней \(=6\).

Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\] \[x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}\] \[x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3\]

Проверка

• \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\) ✔
• \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\) ✔

Дополнительно это видно из разложения: \((x-2)(x-3)=x^2-5x+6\).

Принцип для похожих заданий

1. Посмотри на коэффициент при \(x^2\): если он равен 1 — пробуй Виет (быстро, устно).
2. Ищи два числа: их сумма \(=5\) (с противоположным знаком от коэффициента при \(x\)), произведение \(=6\) (свободный член).
3. Если числа не подбираются — считай дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
4. Всегда подставляй корни в исходное уравнение для проверки.