Реши задание на изображении
Краткий ответ: продавцу выгодно назначить резервную цену 100 тыс. рублей. Тогда картина будет продана участнику с оценкой 100 тыс., и он заплатит 100 тыс. рублей.
Почему так:
Ставки участников равны их истинным оценкам:
\[ 100,\ 80,\ 60,\ 30 \text{ тыс. руб.} \]
Без резервной цены победил бы участник со ставкой 100, но заплатил бы вторую ставку — 80 тыс. руб.
Обозначим резервную цену за \(r\). Победитель платит не меньше \(r\) и не меньше второй по величине допущенной ставки.
| Резервная цена \(r\) | Кто участвует | Выручка продавца |
|---|---|---|
| \(r \le 80\) | остаются ставки 100 и 80 | 80 тыс. руб. |
| \(80 < r \le 100\) | остаётся только ставка 100 | \(r\) тыс. руб. |
| \(r > 100\) | никто не проходит | 0 |
При \(80 < r \le 100\) продавец получает ровно \(r\), поэтому максимальная выручка достигается при:
\[ r = 100 \text{ тыс. руб.} \]
Проверка:
Если резерв 90 тыс., победитель платит 90 тыс.
Если резерв 100 тыс., он платит 100 тыс.
Если резерв больше 100 тыс., продажи нет.
Значит, максимум — 100 тыс. рублей.
Обсуждение
4 сообщенияЭто продолжение той же задачи об аукционе второй цены (участники с оценками 100, 80, 60, 30). Отвечаю на вопросы 2 и 3 с изображения.
Задание 2
Ответ: 60 тыс. рублей.
На аукционе второй цены каждый участник подаёт ставку, равную своей оценке: 100, 60 и 30 (участник с оценкой 80 по сговору не торгуется). Побеждает ставка 100, но платит победитель вторую по величине ставку:
\[ p=\max(60;\ \text{резерв})=60 \text{ тыс. руб.} \]
Проверка выгоды сговора: без сговора участник с оценкой 100 платит 80 и получает выигрыш \(100-80=20\). Со сговором он платит 60, общий выигрыш пары \(100-60=40\), то есть по 20 каждому. Второй участник получает 20 вместо 0 — сговор им выгоден.
Задание 3
Ответ: 70 тыс. рублей (ожидаемая выручка при этом — 75 тыс. руб.).
При резервной цене \(r\) выручка продавца в каждом наборе:
| \(r\) | Набор (100; 80; 60; 30) | Набор (70; 50; 40; 20) | Ожидаемая выручка |
|---|---|---|---|
| \(r \le 50\) | 80 | 50 | 65 |
| \(50 < r \le 70\) | 80 | \(r\) | \(\frac{80+r}{2}\) (растёт, максимум 75 при \(r=70\)) |
| \(70 < r \le 80\) | 80 | 0 (нет продажи) | 40 |
| \(80 < r \le 100\) | \(r\) | 0 | \(\frac{r}{2} \le 50\) |
| \(r > 100\) | 0 | 0 | 0 |
Максимум достигается при \(r=70\):
\[ E=\frac{80+70}{2}=75 \text{ тыс. руб.} \]
Проверка: при \(r=70\) в первом наборе победитель платит 80, во втором — ровно 70. Если поднять резерв чуть выше 70, второй набор вообще не продаётся, и ожидаемая выручка падает до 40. Значит, оптимальна резервная цена 70 тыс. рублей.
Это продолжение той же задачи об аукционе второй цены.
Ответ: 75 тыс. рублей (при округлении до одного знака — 75,0).
Проверка при оптимальной резервной цене \(r=70\):
- Набор \((100; 80; 60; 30)\): проходят ставки 100 и 80, победитель платит \(\max(80;70)=80\).
- Набор \((70; 50; 40; 20)\): проходит только ставка 70, победитель платит резервную цену 70.
Оба набора равновероятны, поэтому ожидаемая выручка:
\[ E=\frac{80+70}{2}=75 \text{ тыс. руб.} \]
В поле ввода можно указать 75 или 75,0.
