Геометрия

Кратко: если \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\), то медианы \(AM\) и \(A_1M_1\), проведённые к равным сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\), равны:
\[ AM=A_1M_1. \]

Доказательство

Дано:
\(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\);
\(AM\) и \(A_1M_1\) — медианы к сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\).

Доказать:
\[ AM=A_1M_1. \]

1. Так как \(AM\) — медиана, то \(M\) — середина \(BC\), значит: \[ BM=\frac{BC}{2}. \] Аналогично: \[ B_1M_1=\frac{B_1C_1}{2}. \]

2. Треугольники равны, поэтому соответствующие стороны и углы равны: \[ AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]

3. Из равенства \(BC=B_1C_1\) следует равенство их половин: \[ BM=B_1M_1. \]

4. Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\): \[ AB=A_1B_1, \] \[ BM=B_1M_1, \] \[ \angle ABM=\angle A_1B_1M_1 \] (потому что \(BM\) лежит на \(BC\), а \(B_1M_1\) — на \(B_1C_1\), и углы \(B\) и \(B_1\) равны).

5. Значит, \(\triangle ABM=\triangle A_1B_1M_1\) по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны: \[ AM=A_1M_1. \]

Что важно понять: равенство медиан доказывается через маленькие треугольники. Мы берём половины равных сторон, соответствующий равный угол и ещё одну равную сторону — и получаем равенство треугольников по признаку SAS.