Реши задание на изображении

Кратко: соответствующие медианы равных треугольников равны. Докажем это через равенство треугольников \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\).

Дано:
\(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\),
\(BM\) — медиана к \(AC\),
\(B_1M_1\) — медиана к \(A_1C_1\).

Доказать:
\[ BM=B_1M_1. \]

Доказательство:

1. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: \[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \]

2. Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) — середина \(AC\), поэтому \[ AM=\frac{AC}{2}. \] Аналогично \[ A_1M_1=\frac{A_1C_1}{2}. \] Поскольку \(AC=A_1C_1\), получаем: \[ AM=A_1M_1. \]

3. Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\). У них: \[ AB=A_1B_1, \] \[ \angle BAM=\angle B_1A_1M_1, \] \[ AM=A_1M_1. \]

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, следовательно: \[ BM=B_1M_1. \]

Вывод: медианы, проведённые к равным сторонам равных треугольников, равны.
Ключевая идея: сначала используем равенство самих треугольников, а потом доказываем равенство двух «половинных» треугольников, образованных медианами.