Реши задание на изображении
Краткий ответ
а) нет; б) нет; в) нет — если в условии \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac35\).
Если там опечатка и \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac32\), то да.а) \(\cos\alpha=\frac35,\ \operatorname{tg}\alpha=\frac43,\ \operatorname{ctg}\alpha=\frac34\);
б) \(\sin\alpha=-\frac{\sqrt{21}}5,\ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{21}}2,\ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{2\sqrt{21}}{21}\);
в) \(\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13},\ \cos\alpha=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\ \operatorname{ctg}\alpha=\frac23\).
Почему так
Главные формулы:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Отсюда, где обе функции определены:
\[ \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1. \]
Задание 1
а) Если \(\sin\alpha=\frac13\) и \(\cos\alpha=\frac13\), то
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac19+\frac19=\frac29\ne1. \]
Значит, такого угла нет.
б) \(\sin\alpha=0{,}2,\ \cos\alpha=0{,}8\):
\[ 0{,}2^2+0{,}8^2=0{,}04+0{,}64=0{,}68\ne1. \]
Такого угла нет.
в) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac23,\ \operatorname{ctg}\alpha=\frac35\):
\[ \frac23\cdot\frac35=\frac25\ne1. \]
Значит, такого угла нет.
Задание 2
а) \(\sin\alpha=0{,}8=\frac45,\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\).
В I четверти все функции положительны:
\[ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35. \]
Тогда
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{4/5}{3/5}=\frac43, \qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac34. \]
б) \(\cos\alpha=-\frac25,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).
Это III четверть, поэтому \(\sin\alpha<0\):
\[ \sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac4{25}} =-\frac{\sqrt{21}}5. \]
Далее:
\[ \operatorname{tg}\alpha= \frac{-\sqrt{21}/5}{-2/5} =\frac{\sqrt{21}}2, \qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{2}{\sqrt{21}} =\frac{2\sqrt{21}}{21}. \]
в) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac32,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).
В III четверти \(\sin\alpha<0,\ \cos\alpha<0\), но их отношение положительно.
Пусть
\[ \sin\alpha=3k,\qquad \cos\alpha=2k, \]
где \(k<0\). Тогда
\[ (3k)^2+(2k)^2=1, \] \[ 13k^2=1,\qquad k=-\frac1{\sqrt{13}}. \]
Значит,
\[ \sin\alpha=-\frac3{\sqrt{13}}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}, \qquad \cos\alpha=-\frac2{\sqrt{13}}=-\frac{2\sqrt{13}}{13}. \]
И
\[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac23. \]
Проверка:
\[ \left(\frac3{\sqrt{13}}\right)^2+ \left(\frac2{\sqrt{13}}\right)^2 =\frac9{13}+\frac4{13}=1. \]
Обсуждение
12 сообщенийПочему в 1 задание под а такой угол не существует
Потому что для любого угла \(\alpha\) должно выполняться основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
Если бы одновременно было
\[ \sin\alpha=\frac13,\qquad \cos\alpha=\frac13, \]
то получилось бы
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^2 =\frac19+\frac19 =\frac29. \]
А должно быть \(1\). Поскольку
\[ \frac29\ne 1, \]
такого угла \(\alpha\) не существует.
Можно объяснить и иначе: если \(\sin\alpha=\cos\alpha\), то \(\operatorname{tg}\alpha=1\), то есть \(\alpha=45^\circ+180^\circ k\). В таких углах
\[ \sin\alpha=\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt2}{2}\approx \pm0{,}707, \]
а вовсе не \(\frac13\). Поэтому равенства \(\sin\alpha=\cos\alpha=\frac13\) одновременно выполняться не могут.
Почему во втором задание под а получается после 0,64 0,36
Потому что в формуле стоит вычитание:
\[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha. \]
Подставляем \(\sin\alpha=0{,}8\):
\[ (0{,}8)^2=0{,}64, \]
\[ \cos^2\alpha=1-0{,}64=0{,}36. \]
То есть \(0{,}36\) — это ещё квадрат косинуса, а не сам косинус. Поэтому дальше извлекают корень:
\[ \cos\alpha=\sqrt{0{,}36}=0{,}6=\frac35. \]
Знак берётся положительный, потому что \(\alpha\) находится в первой четверти, где косинус положителен.
А почему после 0,6 3/5
Потому что десятичную дробь \(0{,}6\) записали в виде обыкновенной и сократили:
\[ 0{,}6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}. \]
То есть \(0{,}6\) и \(\frac35\) — одно и то же число:
\[ \frac35=3:5=0{,}6. \]
В ответе чаще оставляют обыкновенную дробь \(\frac35\), потому что дальше с ней удобнее считать, например:
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{4/5}{3/5}=\frac43. \]
Реши 2 задание под ц с объяснением
2 в) Дано:
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac32,\qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}. \]
Угол \(\alpha\) находится в III четверти. В ней:
\[ \sin\alpha<0,\qquad \cos\alpha<0, \]
при этом тангенс и котангенс положительны.
1. Находим котангенс
Так как
\[ \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1, \]
то
\[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =\frac{1}{3/2}=\frac23. \]
2. Находим косинус
Используем формулу
\[ 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]
Подставляем \(\operatorname{tg}\alpha=\frac32\):
\[ 1+\left(\frac32\right)^2=\frac{1}{\cos^2\alpha}, \]
\[ 1+\frac94=\frac{1}{\cos^2\alpha}, \]
\[ \frac{13}{4}=\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]
Значит,
\[ \cos^2\alpha=\frac{4}{13}. \]
Отсюда
\[ \cos\alpha=\pm\frac{2}{\sqrt{13}}. \]
Но в III четверти \(\cos\alpha<0\), поэтому берём минус:
\[ \cos\alpha=-\frac{2}{\sqrt{13}} =-\frac{2\sqrt{13}}{13}. \]
3. Находим синус
Так как
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \]
то
\[ \sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha. \]
Подставляем:
\[ \sin\alpha=\frac32\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right) =-\frac{3}{\sqrt{13}} =-\frac{3\sqrt{13}}{13}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13},\qquad \cos\alpha=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac23.} \]
Проверка:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\frac{9}{13}+\frac{4}{13}=1, \]
\[ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{-3/\sqrt{13}}{-2/\sqrt{13}} =\frac32=\operatorname{tg}\alpha. \]
Значит, всё найдено верно.
На фото записан расчёт для 2а, и он верный. Только проговорю, что откуда:
\[ \sin\alpha=0{,}8=\frac{8}{10}=\frac45, \]
поэтому
\[ \cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35. \]
Знак перед корнем берём \(+\), потому что \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) — это I четверть, где косинус положителен.
То есть:
- \(\frac45\) — это \(\sin\alpha\), он дан;
- \(\frac35\) — это \(\cos\alpha\), его нашли.
Дальше для 2а:
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{4/5}{3/5}=\frac43, \]
\[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac34. \]
Если у тебя в тетради в последней дроби написано \(\frac35\), всё правильно.
2 задание под ц косинус и синус подробнее
2 в)
Дано:
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac32,\qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}. \]
Угол \(\alpha\) лежит в III четверти. В III четверти:
\[ \sin\alpha<0,\qquad \cos\alpha<0, \]
а тангенс положительный.
1. Находим косинус
Используем формулу:
\[ 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]
Подставляем \(\operatorname{tg}\alpha=\frac32\):
\[ 1+\left(\frac32\right)^2=\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]
Считаем:
\[ 1+\frac94=\frac{1}{\cos^2\alpha}, \]
\[ \frac{13}{4}=\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]
Значит,
\[ \cos^2\alpha=\frac{4}{13}. \]
Теперь извлекаем корень:
\[ \cos\alpha=\pm\frac{2}{\sqrt{13}}. \]
Но так как угол в III четверти, косинус там отрицательный, берём минус:
\[ \cos\alpha=-\frac{2}{\sqrt{13}}. \]
Обычно избавляются от корня в знаменателе:
\[ \cos\alpha=-\frac{2}{\sqrt{13}} =-\frac{2\sqrt{13}}{13}. \]
2. Находим синус
Используем формулу тангенса:
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]
Отсюда:
\[ \sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha. \]
Подставляем:
\[ \sin\alpha=\frac32\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right). \]
Умножаем:
\[ \sin\alpha=-\frac{3}{\sqrt{13}}. \]
Или, без корня в знаменателе:
\[ \sin\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{13}}{13}} \]
\[ \boxed{\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{13}}{13}} \]
Проверка
Проверим основное тождество:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
Подставляем:
\[ \left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2+ \left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 =\frac9{13}+\frac4{13} =\frac{13}{13} =1. \]
Всё верно.
Коротко запомним: в III четверти синус и косинус отрицательные, а тангенс и котангенс положительные. Поэтому модули находим по формулам, а знак ставим по четверти.
