Реши задание на изображении
Краткий ответ: при суммарном выпуске \(Q\) минимальные общие издержки фирмы равны \[ TC_{\text{фирмы}}(Q)=\frac{2}{3}Q^2. \] При этом завод с \(TC=2q^2\) должен выпускать \(Q/3\), а завод с \(TC=q^2\) — \(2Q/3\).
Обозначим выпуск первого завода через \(q_1\), второго — через \(q_2\). Тогда \[ q_1+q_2=Q. \] Суммарные издержки: \[ C=2q_1^2+q_2^2. \] Подставим \(q_2=Q-q_1\): \[ C(q_1)=2q_1^2+(Q-q_1)^2 =3q_1^2-2Qq_1+Q^2. \] Это парабола ветвями вверх, минимум — в вершине: \[ q_1=\frac{2Q}{2\cdot 3}=\frac{Q}{3}. \] Значит, \[ q_2=Q-\frac{Q}{3}=\frac{2Q}{3}. \] Тогда \[ TC_{\min} =2\left(\frac{Q}{3}\right)^2+\left(\frac{2Q}{3}\right)^2 =\frac{2Q^2}{9}+\frac{4Q^2}{9} =\frac{2Q^2}{3}. \]
Проверка через предельные издержки:
\[
MC_1=4q_1,\qquad MC_2=2q_2.
\]
В оптимуме они равны:
\[
4q_1=2q_2 \Rightarrow q_2=2q_1,
\]
откуда снова \(q_1=Q/3,\ q_2=2Q/3\). Если бы \(MC\) различались, часть выпуска выгодно было бы перенести на завод с меньшими предельными издержками.
Для проверки: если использовать только завод с \(TC=q^2\), получится \(TC=Q^2\), а найденное \(\frac23Q^2\) меньше при \(Q>0\). Значит, распределять выпуск между заводами действительно выгодно.
Обсуждение
5 сообщенийОтвет: 5400
Подставляем \(Q=90\) в найденное ранее распределение выпуска:
\[ q_1=\frac{Q}{3}=\frac{90}{3}=30,\qquad q_2=\frac{2Q}{3}=60. \]
Суммарные издержки:
\[ TC=2q_1^2+q_2^2=2\cdot 30^2+60^2=2\cdot 900+3600=1800+3600=5400. \]
Проверка по формуле \(TC_{\min}=\frac{2}{3}Q^2\):
\[ \frac{2}{3}\cdot 90^2=\frac{2}{3}\cdot 8100=5400. \]
В поле ответа нужно ввести: 5400
Это продолжение той же задачи — изменилось только значение \(Q=6\). Распределение выпуска сохраняется:
\[ q_1=\frac{Q}{3}=2,\qquad q_2=\frac{2Q}{3}=4. \]
Суммарные издержки:
\[ TC=2q_1^2+q_2^2=2\cdot 2^2+4^2=8+16=24. \]
Проверка:
\[ TC_{\min}=\frac{2}{3}Q^2=\frac{2}{3}\cdot 36=24. \]
В поле ответа нужно ввести: 24
