Реши задание на изображении
Считаю \(g=10\ \text{м/с}^2\). Общая идея: удар разбираем отдельно по закону сохранения импульса, а движение после удара — по энергии, динамике или кинематике.
Краткие ответы
- \(t\approx 0{,}61\) с
- \(\alpha=30^\circ\)
- \(v_{\min}=130\) м/с
- \(M/m=9\), то есть масса грузика меньше в 9 раз
- \(0<M<0{,}2\) кг, то есть \(M<200\) г
№1
После абсолютно неупругого удара: \[ mv=(m+M)u,\qquad M=2m. \] Значит, \[ u=\frac{mv}{m+2m}=\frac{v}{3}=\frac{2}{3}\ \text{м/с}. \]
До пружины и обратно брусок идёт со скоростью \(u\): \[ t_1=\frac{L}{u}=\frac{0{,}1}{2/3}=0{,}15\ \text{с}. \]
Время контакта с пружиной — половина периода колебаний: \[ t_2=\frac{T}{2} =\pi\sqrt{\frac{m+M}{k}} =\pi\sqrt{\frac{0{,}3}{30}} =0{,}1\pi\approx0{,}314\ \text{с}. \]
Итого: \[ t=2t_1+t_2=0{,}3+0{,}1\pi\approx0{,}614\ \text{с}. \]
Ответ: \(\boxed{t\approx0{,}61\ \text{с}}\).
№2
Скорость перед ударом: \[ v_0=\sqrt{2g(H-h)}. \] После удара нужна вертикальная составляющая скорости: \[ v_y=\sqrt{2g(h_1-h)}. \]
При упругом отражении от плоскости, наклонённой под углом \(\alpha\), отражённая скорость отклонена от вертикали на \(2\alpha\), поэтому \[ v_y=v_0\cos 2\alpha. \] Тогда \[ \cos 2\alpha =\frac{v_y}{v_0} =\sqrt{\frac{h_1-h}{H-h}} =\sqrt{\frac{0{,}25}{1}} =0{,}5. \] Значит, \[ 2\alpha=60^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=30^\circ. \]
Ответ: \(\boxed{\alpha=30^\circ}\).
№3
Чтобы шарик на нити совершил полный оборот, в верхней точке натяжение не должно стать отрицательным: \[ v_{\text{верх}}\ge\sqrt{gl}. \] По закону сохранения энергии скорость внизу должна быть: \[ V\ge\sqrt{5gl}. \] При \(l=0{,}5\) м: \[ V_{\min}=\sqrt{5\cdot10\cdot0{,}5}=5\ \text{м/с}. \]
После попадания пули: \[ mv_{\text{пули}}=(M+m)V. \] Отсюда \[ v_{\text{пули,min}} =\frac{M+m}{m}\sqrt{5gl} =\frac{0{,}26}{0{,}01}\cdot5 =130\ \text{м/с}. \]
Ответ: \(\boxed{130\ \text{м/с}}\).
№4
Пусть сила сопротивления равна \(f\).
При движении вправо тележка идёт равномерно: \[ T=f,\qquad T=mg. \] Значит, \[ f=mg. \]
При движении влево тележка тормозит, ускорение направлено вправо. Обозначим его модуль \(a=2\ \text{м/с}^2\): \[ mg-T=ma, \] \[ T+f=Ma. \] Подставляем \(f=mg\): \[ mg-ma+mg=Ma, \] \[ 2mg=(M+m)a. \] Следовательно, \[ \frac{M}{m}=\frac{2g}{a}-1 =\frac{20}{2}-1=9. \]
Ответ: \(\boxed{\frac{M}{m}=9}\) — масса грузика меньше массы тележки в 9 раз.
№5
После неупругого удара скорость слипшихся шариков: \[ u=\frac{Mv}{M+m}. \] Время падения с высоты \(h=1{,}25\) м: \[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2\cdot1{,}25}{10}} =0{,}5\ \text{с}. \] Дальность полёта: \[ s=ut =\frac{M}{M+0{,}1}\cdot0{,}9\cdot0{,}5. \] Нужно, чтобы \[ s<0{,}3. \] То есть \[ \frac{0{,}45M}{M+0{,}1}<0{,}3. \] Решаем: \[ 0{,}45M<0{,}3M+0{,}03, \] \[ 0{,}15M<0{,}03, \] \[ M<0{,}2\ \text{кг}. \]
Ответ: \(\boxed{0<M<0{,}2\ \text{кг}}\), или \(\boxed{M<200\ \text{г}}\).
При \(M=200\) г шарики упадут ровно на расстоянии \(L=0{,}3\) м; чтобы было ближе к столу, масса должна быть строго меньше.
Обсуждение
8 сообщенийОтвет: бруски вернутся в точку столкновения примерно через
\[
t\approx 0{,}61\ \text{с}\quad(\text{около }0{,}6\ \text{с}).
\]
Решение.
После абсолютно неупругого удара бруски движутся вместе. По закону сохранения импульса: \[ mv=(m+M)u, \] где \(M=2m\), поэтому \[ u=\frac{mv}{3m}=\frac v3=\frac{2}{3}\ \text{м/с}. \]
До пружины и обратно бруски проходят расстояние \(L=0{,}10\) м с постоянной скоростью \(u\). Время в одну сторону: \[ t_1=\frac{L}{u}=\frac{0{,}10}{2/3}=0{,}15\ \text{с}. \] Туда и обратно: \[ 2t_1=0{,}30\ \text{с}. \]
При сжатии пружины масса \(m+M=3m=0{,}3\) кг совершает половину колебания. Время контакта с пружиной: \[ t_2=\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{m+M}{k}} =\pi\sqrt{\frac{0{,}3}{30}} =0{,}1\pi\approx0{,}314\ \text{с}. \]
Общее время: \[ t=2t_1+t_2=0{,}30+0{,}314\approx0{,}614\ \text{с}. \]
\[ \boxed{t\approx0{,}61\ \text{с}\approx0{,}6\ \text{с}} \]
Ответ: около \(0{,}6\) с.
Это та же задача, что была под №3 в наборе, — только здесь условие сфотографировано отдельно. Данные совпадают: \(M=250\) г, \(m=10\) г, \(l=0{,}5\) м.
Ответ: \[ \boxed{v_{\min}=130\ \text{м/с}} \]
Решение.
После того как пуля застряла, шар с пулей имеет массу \(M+m=0{,}26\) кг. По закону сохранения импульса: \[ mv=(M+m)V, \] где \(V\) — скорость шара сразу после удара.
Чтобы шар совершил полный оборот на нити, в верхней точке натяжение не должно обращаться в нуль: \[ \frac{(M+m)V_{\text{верх}}^2}{l}\ge (M+m)g \quad\Rightarrow\quad V_{\text{верх}}\ge\sqrt{gl}. \]
По закону сохранения энергии (от нижней точки до верхней шар поднимается на \(2l\)): \[ \frac{(M+m)V^2}{2} =\frac{(M+m)V_{\text{верх}}^2}{2}+(M+m)g\cdot 2l. \] При минимальной скорости \(V_{\text{верх}}^2=gl\), поэтому \[ V^2=gl+4gl=5gl, \] \[ V_{\min}=\sqrt{5gl}=\sqrt{5\cdot10\cdot0{,}5}=5\ \text{м/с}. \]
Возвращаемся к закону сохранения импульса: \[ v_{\min}=\frac{M+m}{m}V_{\min} =\frac{0{,}26}{0{,}01}\cdot 5 =26\cdot 5=130\ \text{м/с}. \]
Проверка: при \(v=130\) м/с импульс пули \(0{,}01\cdot130=1{,}3\) кг·м/с; импульс шара с пулей \(0{,}26\cdot5=1{,}3\) кг·м/с — совпадает. В верхней точке \(V_{\text{верх}}^2=5^2-4\cdot10\cdot0{,}5=5=gl\) — натяжение как раз равно нулю, то есть нить ещё не провисает.
Ответ: 130 м/с (это минимальная скорость; при большей скорости оборот тоже произойдёт).
Это та же задача, что была под №4 в первом наборе, — условие просто прислали отдельным фото. Данные те же, поэтому даю подробное решение именно этой задачи.
Ответ: \[ \boxed{\frac{M}{m}=9} \] Масса грузика в 9 раз меньше массы тележки.
Решение.
Случай 1. Толчок вправо, равномерное движение.
Тележка едет к блоку (вправо), грузик опускается равномерно. На тележку действуют сила натяжения нити \(T\) (вправо) и сила сопротивления \(f\) (влево). Ускорения нет: \[ T=f. \] Грузик тоже движется равномерно, значит \[ T=mg. \] Отсюда \[ f=mg. \] Это важный результат: сила сопротивления численно равна весу грузика.
Случай 2. Толчок влево, ускорение \(a=2\) м/с².
После толчка влево тележка движется влево, но обе силы — натяжение (тянет к блоку, вправо) и сопротивление (тормозит, тоже вправо) — направлены вправо. Значит, ускорение тележки направлено вправо, и тележка тормозит.
Тогда грузик поднимается и замедляется, то есть его ускорение направлено вниз. Берём положительное направление «вправо для тележки — вниз для грузика» (оно согласовано с нерастяжимостью нити), тогда у обоих тел ускорение \(a\):
- тележка: \(\;T+f=Ma\);
- грузик: \(\;mg-T=ma\).
Складываем уравнения: \[ mg+f=(M+m)a. \] Подставляем \(f=mg\): \[ 2mg=(M+m)a. \] Отсюда \[ M+m=\frac{2mg}{a} \quad\Rightarrow\quad M=\frac{2mg}{a}-m =m\left(\frac{2g}{a}-1\right). \] \[ \frac{M}{m}=\frac{2\cdot10}{2}-1=10-1=9. \]
Проверка. Пусть \(m=10\) г, тогда \(M=90\) г, \(f=mg=0{,}1\) Н. Из уравнения тележки: \[ T=Ma-f=0{,}09\cdot2-0{,}1=0{,}08\ \text{Н}. \] Из уравнения грузика: \[ mg-T=0{,}1-0{,}08=0{,}02\ \text{Н}=ma=0{,}01\cdot2. \] Всё сходится.
Ответ: в 9 раз.
Это продолжение текущей темы: на фото задачи №5 и №6 из того же набора. Задача №5 уже разобрана выше, а №6 — новая, но того же типа (неупругое столкновение, закон сохранения импульса). Решаю №6.
№6
Дано: массы \(3m\) и \(m\), скорости направлены навстречу, по модулю \(v=4\) м/с. После удара шарики слипаются.
Пусть положительное направление совпадает с направлением шарика массой \(3m\). Тогда: \[ p_{\text{до}} = 3m\cdot v - m\cdot v = 3m\cdot4 - m\cdot4 = 8m. \] После слипания масса \(4m\), скорость \(u\): \[ 4m\cdot u = 8m. \] \[ u = \frac{8m}{4m}=2\ \text{м/с}. \]
Ответ: \[ \boxed{u=2\ \text{м/с}} \] Скорость направлена в сторону шарика массой \(3m\) (то есть в сторону, куда летел более массивный шарик).
№5 (напоминание):
Из условия \(s<L\) получается
\[
M<0{,}2\ \text{кг}=200\ \text{г}.
\]
То есть масса налетающего шарика должна быть меньше \(200\) г.
