напиши мне свойства параллелограмма

Кратко

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (\(AB \parallel CD\), \(BC \parallel AD\)). Все его свойства — следствия равенства треугольников, на которые его делит диагональ.

Свойства

1. Противоположные стороны равны: \(AB = CD\), \(BC = AD\).
2. Противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\).
3. Соседние углы (при одной стороне) в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) — потому что это внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\).
5. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника (например, \(\triangle ABC = \triangle CDA\)).

Откуда это берётся (ключевая идея)

Проведём диагональ \(AC\). При параллельных \(AB \parallel CD\) накрест лежащие углы равны: \(\angle BAC = \angle DCA\); при \(BC \parallel AD\): \(\angle BCA = \angle DAC\). Сторона \(AC\) — общая, значит

\[\triangle ABC = \triangle CDA \text{ (по стороне и двум прилежащим углам).}\]

Из равенства треугольников сразу следуют свойства 1, 2 и 5. Для диагоналей проводят обе диагонали: \(\triangle AOB = \triangle COD\) — отсюда \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

Проверка на примере

Пусть \(\angle A = 70^\circ\). Тогда:

• \(\angle C = 70^\circ\) (противоположный);
• \(\angle B = \angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) (соседние);
• сумма всех углов: \(70 + 110 + 70 + 110 = 360^\circ\) ✓.

Важно не путать: свойства — это то, что есть у параллелограмма; признаки — то, по чему его узнают (например, «если диагонали делятся пополам, то это параллелограмм»). Прямоугольник, ромб и квадрат — частные случаи, у них к этим свойствам добавляются свои.