Реши задание на изображении
Ответ: 6 дней подряд — со второго понедельника по субботу.
Если считать только дни после вторника, то это ещё 4 дня.
Пусть \(a_n\) — число отжиманий в день \(n\). В «хороший» день выполнено:
\[ a_n<a_{n-7}\quad\text{и}\quad a_n>a_{n-2}. \]
Почему 7 дней подряд невозможно
Предположим, что хорошими оказались 7 дней подряд: \(d,d+1,\dots,d+6\). Тогда можно выстроить цепочку:
\[ a_{d-2}<a_d<a_{d+2}<a_{d+4}<a_{d+6} < a_{d-1}<a_{d+1}<a_{d+3}<a_{d+5}<a_{d-2}. \]
Здесь используется то, что:
- через 2 дня число должно быть больше;
- по сравнению с тем же днём неделю назад — меньше.
Получилось \(a_{d-2}<a_{d-2}\), чего быть не может. Значит, 7 хороших дней подряд невозможны.
Почему 6 дней возможно
Пример чисел отжиманий:
| Неделя | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1-я | 11 | 3 | 10 | 11 | 12 | 6 | 1 |
| 2-я | 8 | 2 | 9 | 4 | 10 | 5 | 7 |
Проверим вторую неделю:
- Пн: \(6<8<11\);
- Вт: \(1<2<3\);
- Ср: \(8<9<10\);
- Чт: \(2<4<11\);
- Пт: \(9<10<12\);
- Сб: \(4<5<6\).
То есть с понедельника по субботу условие выполняется 6 дней подряд.
А в воскресенье оно уже невозможно: нужно было бы одновременно быть меньше \(1\) и больше \(10\).
Главная идея: сравнение через 2 дня даёт «рост», а сравнение через неделю — «падение»; если таких дней слишком много, неравенства замыкаются в противоречие.
