реши в формате огж и с подробным объяснением понятным языком
Краткий ответ:
\[
x\in(8;\,8+\sqrt3)
\]
Подробное решение
Дано:
\[ (x-8)^2<\sqrt3(x-8) \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ (x-8)^2-\sqrt3(x-8)<0 \]
Вынесем общий множитель \((x-8)\):
\[ (x-8)\bigl((x-8)-\sqrt3\bigr)<0 \]
То есть:
\[ (x-8)(x-8-\sqrt3)<0 \]
Найдём нули выражения:
\[ x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=8 \]
\[ x-8-\sqrt3=0 \quad\Rightarrow\quad x=8+\sqrt3 \]
Получили две точки: \(8\) и \(8+\sqrt3\).
Это парабола с ветвями вверх, значит произведение меньше нуля между корнями:
\[ 8<x<8+\sqrt3 \]
Ответ:
\[ \boxed{(8;\,8+\sqrt3)} \]
Почему нельзя просто разделить на \((x-8)\)?
Потому что \(x-8\) может быть отрицательным, а при делении на отрицательное число знак неравенства меняется. Поэтому надёжнее разложить на множители.
Проверка: например, \(x=9\):
\[ (9-8)^2=1,\qquad \sqrt3(9-8)=\sqrt3\approx1{,}73 \]
\[ 1<1{,}73 \]
Верно, значит \(x=9\) входит в ответ.
Обсуждение
2 сообщенияПочему мы там где вынесли (х-8) не раскрыли скобки с плюсом?
Ты, видимо, имеешь в виду вот эту запись:
\[ (x-8)\bigl((x-8)-\sqrt3\bigr)<0 \]
и спрашиваешь, почему во второй скобке не получилось \((x-8+\sqrt3)\).
Потому что при вынесении \((x-8)\) знак сохраняется:
\[ (x-8)^2-\sqrt3(x-8) =(x-8)\cdot(x-8)+(x-8)\cdot(-\sqrt3) \]
\[ =(x-8)(x-8-\sqrt3). \]
То есть из слагаемого \(-\sqrt3(x-8)\) остаётся именно \(-\sqrt3\), а не \(+\sqrt3\).
Раскрыть скобки, конечно, можно:
\[ (x-8)(x-8-\sqrt3)<0 \]
\[ x^2-(16+\sqrt3)x+64+8\sqrt3<0. \]
Но тогда пришлось бы искать дискриминант, а в виде произведения корни видны сразу:
\[ x-8=0 \Rightarrow x=8, \]
\[ x-8-\sqrt3=0 \Rightarrow x-8=\sqrt3 \Rightarrow x=8+\sqrt3. \]
Вот здесь «плюс» и появляется — когда переносим \(\sqrt3\) вправо:
\[ x-8-\sqrt3=0 \]
\[ x-8=\sqrt3 \]
\[ x=8+\sqrt3. \]
Поэтому в скобке стоит минус, а в корне получается плюс. Раскрывать скобки не запрещено, но через множители быстрее и меньше шансов ошибиться со знаками.
