в каком падеже употреблены относительные местоимения (союзные слова)

Кратко:

• что — винительный падеж;
• чем — творительный падеж;
• о чём — предложный падеж.

Как определить:

Падеж относительного местоимения зависит от его роли внутри придаточной части. Нужно задать вопрос от слова, с которым оно связано:

1. Ум и опыт подсказывают, что́ человек может предпринять…
   Может предпринять что? → что → винительный падеж.
   Здесь важно, что это местоимение, а не союз: оно является дополнением.

2. Отец спокойно высказал всё, чем он был недоволен.
   Был недоволен чем? → чем → творительный падеж.

3. …мы хорошо помнили, о чём нас предупреждал проводник.
   Предупреждал о чём? → о чём → предложный падеж.
   Предлог о входит в падежную форму.

Проверка: падеж определяется не по главной части, а по вопросу внутри придаточной: предпринять что?, недоволен чем?, предупреждал о чём?