Второй признак равенства треугольников

Кратко. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \[ AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle C=\angle C_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1. \]

Почему это работает

1. Накладываем треугольники так, чтобы равные стороны \(AC\) и \(A_1C_1\) совпали: \(A\to A_1\), \(C\to C_1\).
2. Так как \(\angle A=\angle A_1\), луч \(AB\) пойдёт по лучу \(A_1B_1\).
   Так как \(\angle C=\angle C_1\), луч \(CB\) пойдёт по лучу \(C_1B_1\).
3. Точка \(B\) — пересечение этих лучей, поэтому она совпадёт с \(B_1\).
4. Все вершины совпали, значит, треугольники полностью совпадают, то есть равны.

Как применять

• Найди равные стороны.
• Проверь, что два равных угла прилежат к этим сторонам, то есть находятся при их концах.
• Установи соответствие вершин и сделай вывод по второму признаку.
• Третий угол полезно сразу найти: \[ \angle B=180^\circ-\angle A-\angle C. \] Он тоже будет равен соответствующему углу другого треугольника.

Пример

Даны \(\triangle ABC\) и \(\triangle MNK\): \[ AC=MK=7\text{ см},\quad \angle A=\angle M=40^\circ,\quad \angle C=\angle K=60^\circ. \]

Сторона \(AC\) равна стороне \(MK\), а углы \(A\) и \(C\) прилежат к \(AC\); углы \(M\) и \(K\) прилежат к \(MK\). Значит, по второму признаку: \[ \triangle ABC=\triangle MNK. \]

Соответствие вершин: \(A\leftrightarrow M\), \(C\leftrightarrow K\), \(B\leftrightarrow N\). Тогда \[ \angle B=\angle N=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ. \]

Проверка

• Сумма углов: \(40^\circ+60^\circ+80^\circ=180^\circ\) — всё верно.
• Равная сторона \(AC\) лежит между углами \(A\) и \(C\), а \(MK\) — между \(M\) и \(K\). Соответствие не нарушено.

Не путай: первый признак — это две стороны и угол между ними, а второй — сторона и два прилежащих к ней угла.