Алгоритм решения линейных уравнений

Краткий ответ

Любое линейное уравнение сводится к виду

$$ax = b,$$

и тогда при $a \neq 0$ ответ: $x = \dfrac{b}{a}$.

Алгоритм (6 шагов)

1. Раскрыть скобки (аккуратно со знаками перед ними).
2. Убрать дроби — умножить обе части на общий знаменатель.
3. Собрать неизвестные в одной части, числа — в другой. При переносе через знак «=» слагаемое меняет знак на противоположный.
4. Привести подобные слагаемые → получаем $ax = b$.
5. Разделить обе части на коэффициент при $x$ (если он не равен нулю).
6. Проверить: подставить найденный $x$ в исходное уравнение.

Пример

$$\frac{2x-1}{3} = \frac{x+2}{2} - 1$$

Шаг 2. Общий знаменатель 6, умножаем каждое слагаемое:

$$2(2x-1) = 3(x+2) - 6$$

Шаг 1. Раскрываем скобки:

$$4x - 2 = 3x + 6 - 6$$

Шаги 3–4. Переносим $3x$ влево, $-2$ вправо:

$$4x - 3x = 6 - 6 + 2 \quad\Rightarrow\quad x = 2$$

Проверка. Левая часть: $\frac{2\cdot 2 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Правая: $\frac{2+2}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$. Совпало ✔

Почему перенос со сменой знака — законен

Если $A + c = B$, то, вычтя $c$ из обеих частей, получаем $A = B - c$. Это и есть перенос: уравнение не меняет корней, пока мы делаем одно и то же с обеими частями.

Особые случаи (когда $a = 0$)

• $0 \cdot x = 0$ — верно при любом $x$, решений бесконечно много;
• $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$ — решений нет.

Пример второго случая: $5(x-1) - 2(x+3) = 3x - 4$ даёт $3x - 11 = 3x - 4$, то есть $-11 = -4$ — противоречие, корней нет.