Реши задание на изображении

Кратко:
a) \(5832=2^3\cdot 3^6\);
b) \(5832=18^3\), поэтому это полный куб;
c) наименьшее положительное \(p=8\).

Решение по пунктам

a) Раскладываем на простые множители: \[ 5832=2\cdot2916=2^2\cdot1458=2^3\cdot729=2^3\cdot3^6. \]

b) Показатели степеней простых множителей делятся на 3: \[ 5832=2^3\cdot3^6=(2\cdot3^2)^3=18^3. \] Значит, \(5832\) — полный куб.

c) Пусть \[ \sqrt{5832p}=n^3. \] Тогда \[ 5832p=n^6. \] То есть под корнем должна получиться шестая степень. У числа \[ 5832=2^3\cdot3^6 \] степень тройки уже кратна 6, а двойки — нет: не хватает ещё \(2^3\). Поэтому минимальное положительное \[ p=2^3=8. \]

Проверка: \[ 5832\cdot8=46656=6^6, \] \[ \sqrt{46656}=216=6^3. \] Действительно, получился полный куб.

Ответ: a) \(2^3\cdot3^6\); b) \(18^3\); c) \(p=8\).