Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
Как рассуждать (способ подбора)
Уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — это «неизвестное число, умноженное само на себя, минус 5 таких чисел, плюс 6 равно нулю». Такое уравнение в 3 классе решают подбором: проверяем небольшие числа и смотрим, получается ли 0.
| \(x\) | \(x^2 - 5x + 6\) | Результат |
|---|---|---|
| 1 | \(1 - 5 + 6 = 2\) | не 0 |
| 2 | \(4 - 10 + 6 = 0\) | ✅ корень |
| 3 | \(9 - 15 + 6 = 0\) | ✅ корень |
| 4 | \(16 - 20 + 6 = 2\) | не 0 |
Значит, подходят числа 2 и 3.
Почему корней ровно два
Полезный приём на будущее — разложить выражение на множители. Нужны два числа, которые при умножении дают 6, а при сложении дают 5 (с минусом перед ними): это 2 и 3.
\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\]Проверим раскрытием скобок: \(x \cdot x - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\) — всё сходится.
А произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2; \qquad x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3.\]Проверка
- \(x = 2\): \(2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✔
- \(x = 3\): \(3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✔
Принцип, который стоит запомнить: корень уравнения — это число, при подстановке которого получается верное равенство. Поэтому любой ответ всегда можно проверить подстановкой, а у квадратного уравнения корней не больше двух.
