Номер только 1044

Кратко: в прямоугольнике диагонали равны, поэтому суммы квадратов расстояний от любой точки \(M\) до противоположных вершин совпадают.

Доказательство

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\). В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O\) — середина и \(AC\), и \(BD\).

Используем важный факт: если \(O\) — середина отрезка \(XY\), то для любой точки \(M\)

\[ MX^2+MY^2=2MO^2+\frac{XY^2}{2}. \]

Проверим его координатами: пусть \(X(-t;0)\), \(Y(t;0)\), \(M(x;y)\). Тогда

\[ MX^2=(x+t)^2+y^2,\qquad MY^2=(x-t)^2+y^2. \]

Складываем:

\[ MX^2+MY^2 =2x^2+2y^2+2t^2. \]

С другой стороны,

\[ 2MO^2+\frac{XY^2}{2} =2(x^2+y^2)+\frac{(2t)^2}{2} =2x^2+2y^2+2t^2. \]

Формула верна.

Теперь применим её к диагоналям:

\[ AM^2+CM^2=2MO^2+\frac{AC^2}{2}, \]

\[ BM^2+DM^2=2MO^2+\frac{BD^2}{2}. \]

Но в прямоугольнике диагонали равны: \(AC=BD\). Значит, правые части равны, поэтому

\[ \boxed{AM^2+CM^2=BM^2+DM^2}. \]

Это верно для любой точки \(M\) плоскости — как внутри прямоугольника, так и снаружи.

Идея: квадраты расстояний до противоположных вершин сравниваются через общий центр прямоугольника и равные диагонали.