Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ x-3y+5=0 \]

В пропуски нужно вписать: \(-3\) и \(+5\).

Решение:

Пусть \(M(x;y)\). Тогда \[ MA^2=(x-3)^2+(y-1)^2, \] \[ MB^2=(x-2)^2+(y-4)^2. \]

По условию \(MA=MB\), значит, квадраты расстояний тоже равны: \[ (x-3)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+(y-4)^2. \]

Раскрываем скобки: \[ x^2-6x+9+y^2-2y+1=x^2-4x+4+y^2-8y+16. \]

Сокращаем \(x^2\) и \(y^2\): \[ -6x-2y+10=-4x-8y+20. \]

Переносим всё влево: \[ -2x+6y-10=0. \]

Делим на \(-2\): \[ x-3y+5=0. \]

Проверка: середина отрезка \(AB\) — точка \((2{,}5;\,2{,}5)\), она удовлетворяет уравнению: \[ 2{,}5-3\cdot2{,}5+5=0. \]

Это и есть серединный перпендикуляр к \(AB\): все его точки равноудалены от \(A\) и \(B\).