Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.
\]
Как решать:
Ищем два числа, которые:
- в сумме дают \(5\) (потому что перед \(x\) стоит \(-5\));
- в произведении дают \(6\).
Это числа \(2\) и \(3\): \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]
Поэтому квадратный трёхчлен раскладывается так: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Значит, \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
При \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]
При \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Понял, давай разберём именно этот шаг — с местами до самых основ.
1. Откуда взялся \(x\)
\(x\) не появился заново — он всё время был в уравнении:
\[ x^2-5x+6=0 \]
На втором шаге мы не искали \(x\). Мы делали другое: переписывали выражение слева в другой форме — превращали «сумму» в «произведение». \(x\) там остаётся как буква, потому что это переменная.
Аналогия без букв: число \(6\) можно записать как \(2\cdot 3\). Выражение \(x^2-5x+6\) тоже можно записать как произведение двух скобок. Вот и всё, что делает второй шаг.
2. Как получается произведение скобок
Раскроем скобки в общем виде — это ключ ко всему:
\[ (x-a)(x-b) \]
Умножаем каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй:
\[ x\cdot x = x^2 \] \[ x\cdot(-b) = -bx \] \[ (-a)\cdot x = -ax \] \[ (-a)\cdot(-b) = +ab \]
Складываем:
\[ x^2-bx-ax+ab = x^2-(a+b)x+ab \]
Получилась формула:
\[ \boxed{(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab} \]
3. Сравниваем с нашим уравнением
Наше выражение:
\[ x^2-5x+6 \]
Формула даёт:
\[ x^2-(a+b)x+ab \]
Сравниваем по частям:
| В нашем выражении | В формуле | Значит |
|---|---|---|
| \(-5x\) | \(-(a+b)x\) | \(a+b=5\) |
| \(+6\) | \(+ab\) | \(ab=6\) |
Нужны два числа, у которых сумма \(5\), а произведение \(6\). Это \(2\) и \(3\): \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6 \]
4. Подставляем и проверяем
Берём \(a=2\), \(b=3\):
\[ (x-2)(x-3) \]
Проверим раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Совпало с исходным выражением — значит, запись верна. \(x\) никуда не исчез, просто теперь он стоит внутри скобок.
5. Зачем это нужно
Потому что с произведением уравнение решается устно:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
6. Частая ошибка — знаки
В скобках стоят минусы: \((x-2)(x-3)\), а не \((x+2)(x+3)\). Проверка: \((x+2)(x+3)=x^2+5x+6\) — тут перед \(5x\) плюс, а у нас минус.
Важно: так красиво раскладывается не всегда. Если числа не подбираются целыми, решают через дискриминант: \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] Хочешь, покажу на этом же уравнении, как получить \(x=2\) и \(x=3\) через дискриминант, — чтобы увидеть, что оба способа дают одно и то же?
