Реши задание на изображении

Хорошо, разберём те же обведённые номера проще: 13.5, 13.9, 13.11, 13.14, 13.16.

---

13.5. Сколько решений имеет система

1)

\[ \begin{cases} y=x^2,\\ 3x+2y=-6 \end{cases} \]

Подставляем \(y=x^2\) во второе уравнение:

\[ 3x+2x^2=-6 \]

\[ 2x^2+3x+6=0 \]

Считаем дискриминант:

\[ D=3^2-4\cdot2\cdot6=9-48=-39 \]

\(D<0\), значит корней нет. Графики не пересекаются.

Ответ: 0 решений.

---

2)

\[ \begin{cases} y=x^2,\\ x-3y=-3 \end{cases} \]

Подставляем \(y=x^2\):

\[ x-3x^2=-3 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 3x^2-x-3=0 \]

\[ D=(-1)^2-4\cdot3\cdot(-3)=1+36=37 \]

\(D>0\), значит два корня. То есть две точки пересечения.

Ответ: 2 решения.

---

13.9. Найти значения функции

Дана функция: \[ f(x)= \begin{cases} -\dfrac6x, & \text{если } x\le -1,\\ x^2, & \text{если } x>-1. \end{cases} \]

Смотрим, подходит ли \(x\) под первое условие \(x\le -1\).

\(f(-12)\)

\(-12\le -1\), значит берём формулу \(-\dfrac6x\):

\[ f(-12)=-\frac6{-12}=\frac12 \]

---

\(f(-1)\)

\(-1\le -1\), значит тоже берём \(-\dfrac6x\):

\[ f(-1)=-\frac6{-1}=6 \]

---

\(f(-0{,}9)\)

\(-0{,}9>-1\), значит берём \(x^2\):

\[ f(-0{,}9)=(-0{,}9)^2=0{,}81 \]

---

\(f(3)\)

\(3>-1\), значит:

\[ f(3)=3^2=9 \]

---

\(f(0)\)

\(0>-1\), значит:

\[ f(0)=0^2=0 \]

---

Ответ: \[ f(-12)=\frac12,\quad f(-1)=6,\quad f(-0{,}9)=0{,}81,\quad f(3)=9,\quad f(0)=0. \]

Как строить график

1. При \(x\le -1\) строим часть гиперболы \(y=-\dfrac6x\).
   Точки: \[ (-6;1),\ (-3;2),\ (-2;3),\ (-1;6). \] Точка \((-1;6)\) закрашена.

2. При \(x>-1\) строим часть параболы \(y=x^2\).
   Точки: \[ (0;0),\ (1;1),\ (2;4). \] Точка \((-1;1)\) выколота, потому что при \(x=-1\) работает первая формула.

---

13.11. Упростить и построить график

1)

\[ y=\frac{x^3}{x} \]

Сначала важно: на ноль делить нельзя, поэтому: \[ x\ne0. \]

Если \(x\ne0\), то: \[ \frac{x^3}{x}=x^2. \]

Значит, график — парабола \(y=x^2\), но точка \((0;0)\) выколота.

Ответ: \[ y=x^2,\quad x\ne0. \]

---

2)

\[ y=\frac{x^3-2x^2}{x-2} \]

Обязательно: \[ x-2\ne0 \Rightarrow x\ne2. \]

Разложим числитель: \[ x^3-2x^2=x^2(x-2). \]

Тогда: \[ y=\frac{x^2(x-2)}{x-2}=x^2. \]

Но \(x\ne2\). Значит, график — парабола \(y=x^2\) с выколотой точкой: \[ (2;4). \]

Ответ: \[ y=x^2,\quad x\ne2. \]

---

13.14. Найти \(b\)

Даны: \[ y=8x+b \] и \[ y=x^2. \]

Точка пересечения лежит на оси ординат. Ось ординат — это ось \(y\), на ней всегда: \[ x=0. \]

Подставим \(x=0\) в обе функции.

Для прямой: \[ y=8\cdot0+b=b. \]

Для параболы: \[ y=0^2=0. \]

Значения должны совпадать: \[ b=0. \]

Ответ: \[ b=0. \]

---

13.16. Записать функцию по графику

На рисунке две части.

Левая часть — прямая

Она проходит через точки: \[ (0;2)\quad \text{и}\quad (1;1). \]

Её формула: \[ y=-x+2. \]

Правая часть — парабола

Это обычная парабола: \[ y=x^2. \]

В точке \(x=1\) обе формулы дают одно и то же: \[ -x+2=-1+2=1, \] \[ x^2=1^2=1. \]

Поэтому можно записать так:

\[ \boxed{ y= \begin{cases} -x+2, & \text{если } x\le1,\\ x^2, & \text{если } x>1. \end{cases} } \]

В точке \(x=1\) значения совпадают, поэтому там нет выколотой точки.

Сделал. Ниже графики для всех номеров, где по заданию они нужны: 13.9, 13.11(1), 13.11(2), 13.16.
В 13.5 и 13.14 график не обязателен — там всё решается подстановкой.

---

13.9

\[ f(x)= \begin{cases} -\dfrac6x, & x\le -1,\\ x^2, & x>-1. \end{cases} \]

y = -6/x y = x² (-1; 6) (-1; 1)

Что важно на графике:

• слева при \(x\le -1\) — гипербола \(y=-\frac6x\);
• точка \((-1;6)\) закрашена;
• справа при \(x>-1\) — парабола \(y=x^2\);
• точка \((-1;1)\) выколота.

Точки для тетради:
\((-6;1),(-3;2),(-2;3),(-1;6)\) — гипербола;
\((0;0),(1;1),(2;4),(3;9)\) — парабола.

---

13.11(1)

\[ y=\frac{x^3}{x}=x^2,\quad x\ne 0. \]

(0; 0) выколота

График — обычная парабола \(y=x^2\), но точка \((0;0)\) выколота.

---

13.11(2)

\[ y=\frac{x^3-2x^2}{x-2}=x^2,\quad x\ne 2. \]

(2; 4) выколота

График — парабола \(y=x^2\), но точка \((2;4)\) выколота.

---

13.16

\[ y= \begin{cases} -x+2, & x\le 1,\\ x^2, & x>1. \end{cases} \]

(1; 1) y = -x + 2 y = x²

Для тетради:

• прямая: \((-2;4), (0;2), (1;1)\);
• парабола: \((1;1), (2;4), (3;9)\).

В точке \(x=1\) обе части сходятся в \((1;1)\).

Готово — ниже все графики, которые нужны: 13.5(1), 13.5(2), 13.9, 13.11(1), 13.11(2), 13.14, 13.16.
Белые точки — выколотые, закрашенные — входят в график.

Короткая сверка по графикам:

• 13.5(1) — парабола и прямая не пересекаются: 0 решений.
• 13.5(2) — две точки пересечения: 2 решения.
• 13.9 — при \(x\le -1\) гипербола, при \(x>-1\) парабола; точка \((-1;1)\) выколота, \((-1;6)\) входит.
• 13.11(1) — парабола \(y=x^2\) с выколотой точкой \((0;0)\).
• 13.11(2) — парабола \(y=x^2\) с выколотой точкой \((2;4)\).
• 13.14 — \(b=0\); точка на оси ординат — \((0;0)\).
• 13.16 — прямая \(y=-x+2\) при \(x\le1\), затем парабола \(y=x^2\) при \(x>1\).