Выполни обведённые задания
Обведены задания 13.5, 13.9 и 13.11. Ниже — ответы и принцип решения.
Краткий ответ
13.5.
- \(0\) решений;
- \(2\) решения.
13.9.
\[
f(-12)=\frac12,\quad f(-1)=6,\quad f(-0{,}9)=0{,}81,\quad f(3)=9,\quad f(0)=0.
\]
График: при \(x\le -1\) строим \(y=-\frac6x\), при \(x>-1\) — \(y=x^2\). В точке \((-1;6)\) точка закрашена, а в \((-1;1)\) — выколота.
13.11.
- \(y=x^2\), но \(x\ne0\): выколотая точка \((0;0)\).
- \(y=x^2\), но \(x\ne2\): выколотая точка \((2;4)\).
Как это получается
13.5. Сколько решений у системы
Количество решений системы — это количество точек пересечения графиков.
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ 3x+2y=-6. \end{cases} \] Из второго уравнения: \[ 2y=-6-3x,\qquad y=-\frac32x-3. \] Приравниваем: \[ x^2=-\frac32x-3 \] \[ 2x^2+3x+6=0. \] Дискриминант: \[ D=9-4\cdot2\cdot6=9-48=-39<0. \] Корней нет, значит, прямая и парабола не пересекаются — 0 решений.
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ x-3y=-3. \end{cases} \] Из второго: \[ 3y=x+3,\qquad y=\frac{x+3}{3}. \] Тогда: \[ x^2=\frac{x+3}{3} \] \[ 3x^2-x-3=0. \] \[ D=1-4\cdot3\cdot(-3)=1+36=37>0. \] Корня два, значит, две точки пересечения — 2 решения.
13.9. Кусочная функция
\[ f(x)= \begin{cases} -\frac6x, & x\le -1,\\ x^2, & x>-1. \end{cases} \]
Сначала смотрим, в какой промежуток попадает \(x\).
\[ f(-12)=-\frac6{-12}=\frac12 \]
Так как \(-1\le -1\), берём первую формулу: \[ f(-1)=-\frac6{-1}=6. \] Здесь часто ошибаются: \(x=-1\) относится к первой строке, поэтому \(f(-1)=6\), а не \(1\).
\[ f(-0{,}9)=(-0{,}9)^2=0{,}81 \] потому что \(-0{,}9>-1\).
\[ f(3)=3^2=9, \] \[ f(0)=0^2=0. \]
Как строить график:
- левая часть — гипербола \(y=-\frac6x\) только при \(x\le -1\);
- правая часть — парабола \(y=x^2\) только при \(x>-1\).
Удобные точки:
| Левая ветвь \(y=-\frac6x\) | Правая ветвь \(y=x^2\) |
|---|---|
| \((-6;1)\) | \((-1;1)\) — выколотая |
| \((-3;2)\) | \((-0{,}5;0{,}25)\) |
| \((-2;3)\) | \((0;0)\) |
| \((-1;6)\) — закрашена | \((1;1)\), \((2;4)\) |
В точке \(x=-1\) на графике есть закрашенная точка \((-1;6)\), а парабола подходит к \((-1;1)\) с выколотой точкой.
13.11. Дроби и выколотые точки
\[ y=\frac{x^3}{x}. \] Сначала ОДЗ: \[ x\ne0. \] Сокращаем: \[ y=x^2,\qquad x\ne0. \] То есть график — обычная парабола \(y=x^2\), но точка \((0;0)\) выколота.
\[ y=\frac{x^3-2x^2}{x-2}. \] Знаменатель не равен нулю: \[ x\ne2. \] Разложим числитель: \[ x^3-2x^2=x^2(x-2). \] Тогда: \[ y=\frac{x^2(x-2)}{x-2}=x^2. \] Но \(x\ne2\), поэтому на параболе \(y=x^2\) выколота точка \[ (2;4). \]
Главное правило: сокращать дробь можно, но старые ограничения знаменателя при этом не исчезают — выколотые точки на графике остаются.
Обсуждение
2 сообщенияВыполни введённые номера
Судя по выделенным номерам, осталось выполнить 13.3 и 13.7. Задания 13.5, 13.9, 13.11 уже решены выше.
13.3. Решить графически
1) \(x^2=-4x-3\)
Строим параболу \(y=x^2\) и прямую \(y=-4x-3\).
Они пересекаются в точках \((-3;9)\) и \((-1;1)\).
Значит:
\[ x_1=-3,\qquad x_2=-1. \]
Проверка:
\[ (-3)^2=9,\quad -4(-3)-3=12-3=9; \] \[ (-1)^2=1,\quad -4(-1)-3=4-3=1. \]
Ответ: \(-3;\ -1\).
2) \(x^2-3x+5=0\)
Перепишем:
\[ x^2=3x-5. \]
Строим параболу \(y=x^2\) и прямую \(y=3x-5\). Они не пересекаются.
Это же подтверждает дискриминант:
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot5=9-20=-11<0. \]
Ответ: корней нет.
3) \(x^2=\frac{8}{x}\)
ОДЗ: \(x\ne0\).
Строим параболу \(y=x^2\) и гиперболу \(y=\dfrac{8}{x}\).
Они пересекаются в точке \((2;4)\).
Проверка:
\[ 2^2=4,\qquad \frac82=4. \]
Ответ: \(x=2\).
13.7. Кусочная функция
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+3, & x\le -1,\\ x^2, & -1<x<2,\\ 4, & x\ge2. \end{cases} \]
1) Значения функции
\[ f(-4)=2\cdot(-4)+3=-8+3=-5. \]
\[ f(-0{,}3)=(-0{,}3)^2=0{,}09. \]
\[ f(1{,}9)=1{,}9^2=3{,}61. \]
\[ f(3)=4. \]
В точке \(x=-1\) работает первая строка, потому что \(x\le -1\):
\[ f(-1)=2\cdot(-1)+3=1. \]
В точке \(x=2\) работает третья строка, потому что \(x\ge2\):
\[ f(2)=4. \]
Ответ:
\[ f(-4)=-5,\quad f(-0{,}3)=0{,}09,\quad f(1{,}9)=3{,}61, \] \[ f(3)=4,\quad f(-1)=1,\quad f(2)=4. \]
2) Построение графика
При \(x\le -1\) строим прямую \(y=2x+3\).
Берём точки: \[ (-1;1),\quad (-2;-1),\quad (-3;-3). \] При \(x=-1\) точка \((-1;1)\) закрашена.При \(-1<x<2\) строим часть параболы \(y=x^2\).
Например: \[ (-0{,}5;0{,}25),\quad (0;0),\quad (1;1),\quad (1{,}5;2{,}25). \]При \(x\ge2\) график — горизонтальная прямая \(y=4\).
Она начинается с закрашенной точки \((2;4)\).
В итоге график состоит из:
- левого луча прямой от \((-1;1)\) вниз-влево;
- куска параболы между \(x=-1\) и \(x=2\);
- правого горизонтального луча \(y=4\) при \(x\ge2\).
Точки \((-1;1)\) и \((2;4)\) на итоговом графике принадлежат графику.
