Реши задание на изображении
Кратко: это графики, полученные из \(y=\cos x\) и \(y=\sin x\) сдвигами и растяжением. У всех четырёх функций период \(2\pi\), область определения — все \(x\in\mathbb R\).
\(y=\cos x-2{,}5\) — график \(\cos x\) опустить вниз на \(2{,}5\).
Область значений: \([-3{,}5;-1{,}5]\).\(y=\cos(x+\frac{\pi}{4})\) — график \(\cos x\) сдвинуть влево на \(\frac{\pi}{4}\).
Область значений: \([-1;1]\).\(y=\sin(x-\frac{\pi}{3})+3\) — график \(\sin x\) сдвинуть вправо на \(\frac{\pi}{3}\) и вверх на \(3\).
Область значений: \([2;4]\).\(y=-2\cos x-1\) — график \(\cos x\) отразить относительно оси \(Ox\), растянуть по вертикали в \(2\) раза и опустить на \(1\).
Область значений: \([-3;1]\).
Как строить по точкам
Берём точки, когда аргумент равен
\[
0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi.
\]
| № | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| 1 | \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi\) | \(-1{,}5;\ -2{,}5;\ -3{,}5;\ -2{,}5;\ -1{,}5\) |
| 2 | \(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\) | \(1;\ 0;\ -1;\ 0;\ 1\) |
| 3 | \(\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6},\frac{7\pi}{3}\) | \(3;\ 4;\ 3;\ 2;\ 3\) |
| 4 | \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi\) | \(-3;\ -1;\ 1;\ -1;\ -3\) |
Отметь эти точки и соедини их плавной волной. Затем повторяй такую же волну через \(2\pi\).
Проверка: например, в №2 при \(x=-\frac{\pi}{4}\) получаем \(\cos 0=1\), это максимум. В №4 при \(x=\pi\): \(-2\cos\pi-1=2-1=1\), тоже верно.
Обсуждение
2 сообщенияРеши
По фото нужно построить графики функций. Все они получаются из графиков \(y=\cos x\) и \(y=\sin x\).
1) \(y=\cos x-2{,}5\)
График \(y=\cos x\) сдвигаем на \(2{,}5\) вниз.
- период: \(2\pi\);
- область значений: \([-3{,}5;\,-1{,}5]\).
Точки для построения:
\[ (0;-1{,}5),\quad \left(\frac{\pi}{2};-2{,}5\right),\quad (\pi;-3{,}5),\quad \left(\frac{3\pi}{2};-2{,}5\right),\quad (2\pi;-1{,}5). \]
2) \(y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
График \(y=\cos x\) сдвигаем влево на \(\frac{\pi}{4}\).
- период: \(2\pi\);
- область значений: \([-1;1]\).
Точки:
\[ \left(-\frac{\pi}{4};1\right),\quad \left(\frac{\pi}{4};0\right),\quad \left(\frac{3\pi}{4};-1\right),\quad \left(\frac{5\pi}{4};0\right),\quad \left(\frac{7\pi}{4};1\right). \]
3) \(y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+3\)
График \(y=\sin x\) сдвигаем:
вправо на \(\frac{\pi}{3}\);
вверх на \(3\).
период: \(2\pi\);
область значений: \([2;4]\).
Точки:
\[ \left(\frac{\pi}{3};3\right),\quad \left(\frac{5\pi}{6};4\right),\quad \left(\frac{4\pi}{3};3\right),\quad \left(\frac{11\pi}{6};2\right),\quad \left(\frac{7\pi}{3};3\right). \]
4) \(y=-2\cos x-1\)
Берём \(y=\cos x\):
- отражаем относительно оси \(Ox\);
- растягиваем по вертикали в \(2\) раза;
- сдвигаем вниз на \(1\).
- период: \(2\pi\);
- область значений: \([-3;1]\).
Точки:
\[ (0;-3),\quad \left(\frac{\pi}{2};-1\right),\quad (\pi;1),\quad \left(\frac{3\pi}{2};-1\right),\quad (2\pi;-3). \]
Как оформить график: отметь найденные точки на координатной плоскости, соедини их плавной линией, затем повтори такую же волну через \(2\pi\) влево и вправо.
