Реши задание на изображении

На фото несколько упражнений; ниже разбираю полностью читаемые 674–677. Для № 678 нужен необрезанный рис. 27.

Главный принцип

График уравнения — это все точки \((x;y)\), координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Если уравнение линейное \(ax+by=c\), то:

• при \(b\ne0\) получается наклонная прямая; для её построения хватает двух точек;
• если \(x\) равен числу, прямая вертикальная;
• если \(y\) равен числу, прямая горизонтальная;
• если произведение равно нулю, график распадается на несколько прямых.

№ 675

\[ \begin{aligned} &a)\ 3x+0y=12 \Rightarrow x=4 &&\text{— вертикальная прямая};\\ &б)\ 0x+y=1 \Rightarrow y=1 &&\text{— горизонтальная прямая};\\ &в)\ x=5 &&\text{— вертикальная прямая};\\ &г)\ y=1{,}5 &&\text{— горизонтальная прямая}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &д)\ (x-2)(y-3)=0 \Rightarrow x=2 \text{ или } y=3;\\ &е)\ (x+3)(y+1)=0 \Rightarrow x=-3 \text{ или } y=-1;\\ &ж)\ |x|=2 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=-2;\\ &з)\ |y|=3 \Rightarrow y=3 \text{ или } y=-3. \end{aligned} \]

В пунктах д) и е) получаются две пересекающиеся прямые: в д) — вертикальная \(x=2\) и горизонтальная \(y=3\); в е) — \(x=-3\) и \(y=-1\). В ж) — две вертикальные прямые, в з) — две горизонтальные.

№ 676

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \] Уравнение \[ (x-y)(x+y)=0 \] верно тогда и только тогда, когда хотя бы одна скобка равна нулю: \[ x-y=0 \quad\text{или}\quad x+y=0. \] Отсюда \[ y=x \quad\text{или}\quad y=-x. \] Значит, график — объединение двух прямых: \(y=x\) и \(y=-x\).

№ 677

Строим каждую прямую по двум точкам.

а)
\[ 3x-2y=5 \Rightarrow y=\frac{3x-5}{2}. \] Точки: \((1;-1)\) и \((3;2)\).

б)
\[ x+2y-3=0 \Rightarrow y=\frac{3-x}{2}. \] Точки: \((1;1)\) и \((3;0)\).

в)
\[ 3x-4y=-1 \Rightarrow y=\frac{3x+1}{4}. \] Точки: \((1;1)\) и \((5;4)\).

Проверка: \[ 3\cdot1-2\cdot(-1)=5,\qquad 1+2\cdot1-3=0,\qquad 3\cdot1-4\cdot1=-1. \] Верно.

№ 674

Перепишем уравнения в виде \(y=kx+b\):

\[ 2x-y=4 \Rightarrow y=2x-4; \] это более крутая возрастающая прямая, проходит через \((2;0)\) и \((0;-4)\).

\[ x-y=-2 \Rightarrow y=x+2; \] это менее крутая возрастающая прямая, проходит через \((-2;0)\) и \((0;2)\).

\[ y+4=0 \Rightarrow y=-4; \] это горизонтальная прямая, проходящая ниже оси \(Ox\).

По рисунку 26 определяем так: горизонтальная прямая — \(y+4=0\); из двух наклонных более крутая — \(2x-y=4\), менее крутая — \(x-y=-2\).

№ 678

Сам рис. 27 на фото обрезан, поэтому однозначно указать уравнение нельзя. Кандидаты имеют вид: \[ \begin{aligned} x-y=-7 &\Rightarrow y=x+7,\\ x-y=4 &\Rightarrow y=x-4,\\ 2x+y=6 &\Rightarrow y=-2x+6,\\ x+y=5 &\Rightarrow y=-x+5. \end{aligned} \] Чтобы выбрать, возьми на рисунке две точки с целыми координатами и подставь в уравнения: подойдёт то, при котором оба равенства верны.